Геометрические свойства банаховых пространств и их слабо выпуклых подмножеств

• Автор: Иванов, Григорий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Свойства единичного шара

1.1. Некоторые определения и обозначения

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. О минимальной константе Липшица метрической проекции на гиперплоскость

1.4. Модули опорной выпуклости и гладкости

Глава 2. Уклонение выпуклой оболочки

2.1. Оценки сверху на УВО-модуль в различных пространствах

2.2. Критерий гильбертовости в терминах УВО-модуля

Глава 3. Некоторые геометрические свойства банаховых пространств
3.1. Теорема об усреднении
3.2. Полунепрерывность сверху опорного отображения
Глава 4. Слабо выпуклые множества и их свойства
4.1. Основные определения
4.2. О взаимосвязи Р-опорного и У-опорного условий слабой выпуклости
4.3. О взаимосвязи условий Р-опорной слабой выпуклости и слабой выпуклости
по Виалю
4.4. Модуль невыпуклости слабо выпуклых множеств
4.5. Регулярность слабо выпуклых множеств
4.6. О стягиваемости слабо выпуклых множеств
4.7. Монотонность нормального конуса
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы и степень ее разработаннности. Единичная сфера банахова пространства полностью определяет все его свойства, однако, является трудно обозримым объектом. Поэтому многих исследователей привлекал поиск просто вычисляемых и наглядных числовых характеристик сферы, которые, естественно, уже не несут исчерпывающей информации о пространстве, но связаны с отдельными его свойствами. К таким характеристикам относятся в первую очередь модуль выпуклости Кларксона и модуль гладкости Дэя.
В настоящее время имеется множество различных констант и характеристик банаховых пространств, связанных с их свойствами. Здесь можно упомянуть модули выпуклости Мильмана, модуль невыпуклости Банаша, модули Шмульяна, модуль Бердышева; константы Гротендика, Юнга, фон Неймана; коэффициент Джеймса, коэффициент нормальной структуры и множество других.
Важной характеристикой банахова пространства является отклонение единичной сферы от опорной гиперплоскости. В частности, при исследовании свойств гипомонотонности (монотонности в некотором ослабленном смысле) нормального конуса к единичному шару требуется исследовать асимптотику верхней и нижней оценок указанного отклонения. С этой целью в диссертации вводятся понятия и развивается техника использования модулей опорной выпуклости и опорной гладкости. Выбор названий для этих новых модулей мотивирован тем, что модуль опорной выпуклости (гладкости) эквивалентен в нуле модулю выпуклости (гладкости) банахова пространства.
Начиная с 90-х годов в работах Банаша и его коллег исследуется задача об эквивалентности модуля Банаша и модуля гладкости банахова пространства. При этом был получен ряд оценок на модуль Банаша через модуль гладкости, но эквивалентность не была доказана. Можно отметить, что есть целый ряд модулей, характеризующих гладкость банахова пространства, эквивалентных в нуле модулю гладкости, и аналогичный ряд модулей, эквивалентных в нуле модулю Банаша. Используя введенное понятие модуля опорной выпуклости, в диссертации показывается, что модуль Банаша и модуль гладкости эквивалентны в нуле.
Мерой невыпуклости а(Б) множества Б называется супремум расстояний от точек выпуклой оболочки множества Б до исходного множества. К настоящему времени

получен ряд результатов, в которых мера невыпуклости множества оценивается через его диаметр в различных банаховых пространствах. Многие интересные результаты были получены в работах Н.М. Гулевича, например, точная оценка сверху на меру невыпуклости множества в лебеговых пространствах.
Теорема I. Для любого ограниченного множества А бесконечномерного пространства ІА = ЬР(П, р), 1 < р < оо, справедливо неравенство
При этом оценка (1) является точной.
При решении различных задач слабо выпуклого анализа и нелинейного анализа возникает естественная задача исследования пересечения определенного множества с шаром. В частности, интересен вопрос о мере невыпуклости такого множества. Во второй главе диссертации исследуется УВО-модуль банахова пространства X, т.е. максимальная мера невыпуклости множеств, содержащихся в единичном шаре. Например, Г.Е. Иванов, фактически исследовав меру невыпуклости слабо выпуклых по Виалю множеств, получил достаточное условие непрерывного селектора для отображения со слабо выпуклыми по Виалю значениями (определения различных классов слабо выпуклых множеств будут даны ниже). Этим и вызван интерес к исследованию свойств УВО-модуля в банаховых пространствах.
В первом параграфе второй главы получен ряд оценок сверху на УВО-модуль в различных пространствах. В том числе получены оценки УВО-модулей лебеговых простраств более точные, чем оценки (1). Кроме того, получена точная оценка сверху УВО-модуля конечномерного нормированного пространства в зависимости от его размерности.
В настоящий момент известны десятки критериев гильбертовости банахова пространства (см. [3]). Они дают различные характеристики эллипсоидов в классе всех выпуклых замкнутых центрально-симметричных поверхностей в многомерных пространствах. Во втором параграфе второй главы получены критерий гильбертовости банахова пространства в терминах УВО-модуля.
При вычислениях часто приближают выпуклое множество с помощью суммы Мин-ковского некоторого сеточного множества и шара необходимого радиуса, причем полученная сумма должна покрывать исходное множество. Для корректной работы некоторых
, где

что 93Гп(о1) П Б = 0. Но раз 01 £ со £>, то 01 £ со(©1(о)т!©г„(о1)). Множество В = Ш1(о)1^®г„(о)) по лемме 1.2.1 связно, значит, в силу усиленной теоремы Ка-ратеодори ([48], р.241, А) точка о есть выпуклая комбинация не более чем п точек из множества В. Обозначим их аь.-.а^, к ^ п - они образуют (к — 1)-мерный симплекс А, точка 01 = «101 + ... + 0*0* лежит в его относительной внутренности (щ > 0, с*1 + ...+ а*г = 1). Пусть С( - пересечение луча щох с противоположной гранью симплекса а. Т.е. 01 = щщ + (1 — а;)с(. Тогда
||о1а(Ц = (1 — 0|) НадЦ.
Так как од С А С ©1(0), то [|а;с;[| < 2. Поэтому гп < НсодН < 2(1 — а(). Следовательно,
оц < 1 — т* ^ А, а значит, «1 Н Ь а* ^ £ < 1. Противоречие.
Покажем, что равенство достигается.
Рассмотрим пространство £'{. Пусть а,- — е; £ ©1(0), где {е;}"=1 - стандартный базис в положим 6 = £(а1+.. .+ап) £ со{а1,..., о„}. Но расстояние от точки 6 до произвольной точки множества А = (а.}"=1 равно ||а*6|| = 22^-.
Рассмотрим пространство Пусть ау = (—1 )*», где £у - символ
Кронекера, а; = (<гц, ■ ■ • ,о1П). Рассмотрим множество А = Пусть
Ь = ^(й! + ... + ап) = (2^2. • • • »2^2) 6 со{а! а„}. Но расстояние от точки Ь до
произвольной точки множества А равно ||а(Ь|| = 22^-.

Из теоремы 2.1.1 и неравенства Сх > 1 следует, что УВО-модуль любого двумерного нормированного пространства равен 1. Легко видеть, что УВО-модуль пространства £1 равен 2.
Лемма 2.1.1. Пусть Хп банахово пространство, с1пп Хп = п. Тогда для любого положительного числа (1 К. Сх„ существует множество А с ©1(0), состоящее не более, чем из п точек и такое, что к+(со А, А) = д.
Доказательство.
Покажем, что существует не более, чем п.-точечное множество Ап с ©1(0) такое, что Л+(со Ап,Ап) = (х■ Этого достаточно для доказательства леммы. Для произвольной точки в из выпуклой оболочки некоторого множества 5 £ ©1(0) выполнено соотношение