Теоремы Чернова и Троттера-Като для локально выпуклых пространств

• Автор: Неклюдов, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
1 Единственность и гладкость решения абстрактной задачи Коши для уравнений вида х = Ах, А € 2х
1.1 Терминология и обозначения
1.2 Существование эффективной производной ЭДО) для Э €

1.3 Единственность решения абстрактной задачи Коши
2 Формула типа Чернова для представления локального решения абстрактной задачи Коши и её некоторые следствия
2.1 Формула типа Чернова для решения абстрактной задачи Коши
2.2 Аналоги теорем Чернова, Троттера и Троттера-Като для секвенциально полных локально выпуклых пространств
3 Необходимые и достаточные условия существования решения абстрактной задачи Коши
3.1 Необходимые и достаточные условия существования локального решения уравнения х = Ах для А €
3.2 Необходимые и достаточные условия того, что замыкание оператора является генератором локально равностепенно непрерывной полугруппы
3.3 Некоторые следствия предыдущих результатов для банаховых пространств

Посвящается маме и брату.
Введение
В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием абстрактной задачи Коши
х = Ах, ж(0) = а-’о € Т>(А) (1)
для плотно определенных линейных операторов А £ Ах в локально выпуклом пространстве X, где Ах состоит из всех операторов, играющих роль аналогичную генераторам локально равностепенно непрерывных полугрупп (но не обязательно являющихся генераторами). В ней получены представление локального решения задачи Коши для уравнения (1) в виде формулы типа Чернова, обобщения теорем Чернова, Троттера и Троттера-Като для секвенциально полных локально выпуклых пространств, необходимые и достаточные условия того, что замыкание оператора является генератором локально равностепенно непрерывной полугруппы. Следует отметить, что при доказательстве этих теорем не использовалась резольвентная техника, так что наш подход принципиально отличается от классического подхода, использованного при доказательстве первоначальных вариантов и некоторых обобщений этих теорем.
Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 50 лет находящемуся в центре внимания специалистов - теории полугрупп операторов. Считается, что рождение этой теории началось с публикацией книги Е. Хилле "Функциональный анализ и полугруппы" в 1948 году. С тех пор вышло бесчисленное количество литературы посвященной этой области функционального анализа; отметим в частности, монографии [4], [14], [15], [16], [27] и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Ю.Л. Далецкого, X. Троттера, П. Чернова, В. Феллера, Т. Като, Р. С. Филлипса, К. Иосида, О. Г. Смолянова и многих других. Область применения этой теории огромна и включает в частности задачи математической физики, теории вероятностей и

теории управления. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.
В теории полугрупп хорошо известна проблема о связи между сходимостью последовательности полугрупп и последовательности порождающих генераторов. В случае банахова пространства теорема Троттера-Като [31] достаточно полно решает эту задачу. Эта теорема и её различные модификации играют важнейшую роль в теории полугрупп ([10], [17]). При доказательстве теоремы Троттера-Като изначально использовалась резольвентная техника. Развитие этой техники для теории полугрупп в локально выпуклых пространствах было одной из центральных проблем в работах [17], [20], [21], [26], [28], [32] и других. Отметим отдельно работу [9]. Используя резольвентную технику, развитую в [26], в ней доказываются обобщения теоремы Троттера-Като (теоремы 15, 17) для локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространств. В отличие от результатов, полученных в этой работе, в диссертации доказывается обобщение теоремы Троттера-Като для произвольных локально равностепенно непрерывных полугрупп. А именно, нам удалось показать при естественных условиях эквивалентность сходимости последовательности локально равностепенно непрерывных полугрупп и последовательности их генераторов, не накладывая никаких дополнительных условий на генераторы этих полугрупп. Этот результат применим даже для локально равностепенно непрерывных полугрупп Т, заданных на секвенциально полном локально выпуклом пространстве X, генератор Z которых удовлетворяет следующему условию: не существует числа Л 6 С, при котором образ оператора А1 — Ъ будет плотен в X. В частности такая полугруппа приводится в примере 1.
Другим центральным результатом в теории полугрупп можно считать теорему Чернова [11] (являющейся обобщением теоремы Троттера [31]). Теорема Чернова используется для представления решения задачи Коши уравнения (1). Частным случаем этого уравнения являются такие важные уравнения в математической физике как уравнение Шре-дингера, уравнение теплопроводности и многие другие. Э. Нельсон [251 использовал формулу Троттера (являющуюся частным случаем теоремы Чернова) для представления решения уравнения Шредингера с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве.

I(mt/gi)}[9ir] - т/9ш)}[а-л)дЛ) < l(({F(*A//)}M - m/9i)}[9is])9,0)1 + 1((Шг/.ф)}м - {F(i/gm)}M)9,0)1 + mnt/9m)}[9mS] - т/дш)}{9тГ])д, 0)1 < e/3 + e/3 + e/3 < e.
Здесь мы использовали следующее неравенство:
I[gnr] - [gns]/gn < gnr - gns + 2/дп < е", п > к0.
Как следствие, мы получаем существование предела
lim ({F()}[sfcsl5,0), s > 0, д Е Ф.
к—*00 ик
Таким образом, первая часть предложения 1 доказана.
Рассмотрим теперь пункты (а) - (е) предложения 1.
(a) Пункт (а) непосредственно следует из определения Ts.
(b) Зафиксируем д <Е Ф. Из леммы 2 следует, что для каждого е > О существуют v0>0,k0eN такие, что
- ({F(£)}WIS,'«I < £.
для любых v > —s, |v| < Vo, к > ко, к € N. Устремляя к к оо, мы получаем неравенство
|тs+v(g,(f>) — Ts(<7,0)| < £.
Из произвольности б мы получаем пункт (b) предложения 1.
(c) Предположим, что / G Ф П 22(F/mey(0)) и h € ф П Рга/(0)/. Пусть s>o — последовательность такая, что lim fs = f и
s—>0
lims-I(F(s) — F(0))/s = h. Из леммы 3 следует, что для любого е >

существуют Vo > 0, £<) € N такие, что
!(F|B?l(i)/i,« - - - [»Щ])
9к 9к
х (Г'""*.тП»*‘Р1)(У-)Л,й| < £|[Stf] - [Ää±üj|i