Аналитические методы исследования некоторых феноменологически симметричных двумерных геометрий

• Автор: Богданова, Рада Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 152 с. : ил.

Оглавление

Основные обозначения

Введение

1 Основные определения

1.1 Феноменологическая и групповая симметрии одномерной

геометрии

1.2 Феноменологическая симметрия в геометрии

1.3 Групповая симметрия в геометрии

1.4 Эквивалентность групповой и феноменологической симметрий в геометрии

1.5 Примеры: плоскость и пространство Евклида

1.6 Методы классификации феноменологически симметричных

геометрий и анализ полученных результатов
2 Группы движений некоторых феноменологически симметричных двумерных геометрий
2.1 Определение феноменологически симметричных двумерных геометрий и их классификация
2.2 Группа движений как решение функционального уравнения
2.3 Группа движений плоскости Гельмгольца
2.4 Группа движений псевдогельмгольцевой и дуальногельм-
гольцевой плоскостей

2.5 Метрическая функция как двухточечный инвариант группы движений
3 Двуметрические феноменологически симметричные двумерные геометрии
3.1 Определение двуметрических феноменологически симметричных двумерных геометрий
3.2 Аналитические методы классификации
3.3 Анализ полученного результата
3.4 Группа движений и ее двухточечный инвариант
3.5 Физическая интерпретация
Заключение
Литература

Основные обозначения
дЦьз)

Шзп эп -мерное многообразие;
г, к точки многообразия 9!Я5гг;
х, ж?,х|п локальные координаты точки г 6 Шзп;
С/(г) окрестность точки г;
/(*!.?)> <4*1.7') и т-п- есть сокращенные обозначения некоторых функций
Л„1 „2 „яп „1 „2 /г«тг'
хг » )'>
(х},х?,...,х1п,х±,х?,...,х?п) и т.п.; есть частная производная функции
/(X1. х^,..., х|п, х). х^,.... х^п) по координате х};
= равенство по определению.
Уточним приведенные выше обозначения для случаев п — 1, « = 2и гг = 2, 5 = 1:
ЕШг двумерное многообразие;
х^, у, локальные координаты точки г е 9Лг;
/(г,у), А(г,у)ит.п. есть некоторые функции соответственно
/(хиуих^у,), (хг,уих^у,) и т.п.;
д/(г,Л

есть частная производная функции /(Хі.х^.г/г,^) по координате Хі,
Ах(г), Ау(г) и т.п. соответственно частные производные функции
л/ ч д(хі,уі)
л(Хі,уі) по координатам х,,уі, то есть ---------—,

д(хі,уі)

Эти обозначения и примененные помимо них в тексте приведены по монографиям Г. Г. Михайличенко [35], [37] и способствуют краткости изложения.

(3.66)
Пусть состояние термодинамической системы г задается двумя термодинамическими параметрами - объемом V и давлением Pi. Тогда все множество состояний представляет собой первую четверть числовой плоскости, так как V > О, Р > 0. Каждой паре состояний (г, j) сопоставим два числа, равные работам APV(i,j), AVP(i,j), которые внешние тела совершают над системой при ее переходе из начального состояния i в конечное состояние j по двум различным путям PV и VP, состоящим из равновесных изобарного (Р = const) и изохорного (V = const) процессов:
AFV(i,3) = (Ц - Ц)Р„
Avr(i,j) = (Vi-Vi)Pj.
Двухкомпонентная функция А = (Ару, Аур) с выражениями (3.66) для ее компонент задает на плоскости термодинамических состояний (Р, V) двуметрическую геометрию, которая, подобно евклидовой геометрии, задаваемой на координатной плоскости (х, у) метрической функцией (1.35) (см. §1.5 главы 1), одновременно феноменологически симметрична и наделена групповой симметрией.
Группа движений для метрической функции (3.66) состоит из всех тех преобразований
V' = MV.P),
(3.68)
Р' = a{V,P),
плоскости (P,V), которые удовлетворяют двум функциональным уравнениям, являющимися следствиями инвариантности ее компонент:
(А(г) - А(ЯМг) = (VJ - Vj)Pu (А(г) — A(j))cr(j) = (Vi — Vj)Pj,
Решения этих уравнений легко находятся с помощью разделения переменных:
(V:P) = aV + b,
(3.69)