О функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения

• Автор: Кузоватов, Вячеслав Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Предварительные сведения
1. Некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций
2. Уравнение Гельмгольца
2. Граничный аналог теоремы Форелли
3. Многомерный случай
4. Вид сечений области комплексной прямой
5. Доказательство теоремы 2.1 в случае некоторого
ограничения на область
6. Вычисление моментных интегралов
7. Преобразование моментных условий
8. Завершение доказательства теоремы 2.1 в
двумерном случае
3. Некоторые свойства решений уравнения Гельмгольца
9. Аналитическое продолжение решения уравнения
Гельмгольца
10. Аналог теоремы Лиувилля
4. Некоторые семейства комплексных прямых, достаточные для голоморфного продолжения
11. Формулировка теоремы и некоторое
вспомогательное утверждение
12. Доказательство теоремы 4.

Заключение ЮЗ
Список литературы

Введение
Исследование аналитического продолжения непрерывных функций /, заданных на границе ограниченной области Л в многомерном комплексном пространстве, со свойством одномерного голоморфного продолжения является одной из актуальных задач теории функций многих комплексных переменных. На комплексной плоскости С результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны, поэтому результаты существенно многомерны.
Начало данных исследований было положено в работе М. Л. Аграновского и Р. Е. Вальского 1971 г. в [1], изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Они показали, что если непрерывная функция, заданная на границе шара, обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, пересекающих шар, то она голоморфно продолжается во внутренность шара как функция многих комплексных переменных. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.
В 1977 г. Э. Л. Стаутом в [33], использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено А. М. Кытмановым в [3], [12], применившим интеграл Бохнера - Мартинелли. Идея использования интегральных представлений (Бохнера - Мартинелли, Коши - Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых [16], [31]. Обзор результатов, относящихся к данной теме, можно найти в [32].
После работы [33] Э. Л. Стаута, встал вопрос о нахождении классов комплексных прямых £, достаточных для голоморфного продолжения. Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М. Л. Аграновским и А. М. Семеновым [2]. Оно состоит из множества комплексных

Лемма 2.1. При комплексно - линейном преобразовании координат и> = Вг условие (5.1) на функцию р(изі,из2), рассмотренное в граничной точке и>о = 0, запишется в виде
д2уз д2у> д2уз
(0) = °’ Щ= Щ (0) ’
(5.2)
дхдх
где неявная функция Х4 = уз (.ті, х2, Дз), определенная уравнением р(хі, х2, хз, Х4) = О,
удовлетворяет условиям уз (0) = О, (0) = 0, к = 1,3.

Доказательство. Найдем связь между частными производными функций р(г) и р (го), а также условия на функцию р (г) . Будем иметь др др ди> др дйзі

диіі дг др дші
дизі дгі
др диз2 др ди>2 ди’2 дг ^ дй>2 ді
^(0)^_^(0)^. диз2 диз диз ди>
др_дші др_ дщ. др_дш2 = ,др_ др_ ,др_ др
дг2 дги дг2 Огйі 9^2 диз2 дг2 <Эга2 дг2 1 дйіі диз дйз2 ди>
Из приведенных выше выкладок видно, что
Й(0)"
,значение

является чисто мнимым.
Рассмотрим частную производную функции р{г) второго порядка.
Ч = — (0),
дг дги2 dwiduix дг
д2р ди>і д2р дъи

д2р ди>і д2р дги

ди>ідю2 дг ) дизх dw2dw1 дгх ди>2диз2 дг
І£-(0)-^£-
дш дшдш
дш др

диз2 диз2ди>х
ди>і ( 1 ди,)
диз2 ^) диз
2й;с»й:<0)йй;

чди>і диз%'
Учитывая выполненный сдвиг координат, при котором граничная точка изо перешла в ноль, и условие (5.1) на границу области Д последнее равенство означает, что

(0) = 0.
В дальнейшем для удобства записи вместо функции р(г), задающей границу области £), будем писать р(г). Другими словами,
р(г і,22) =
(5.3)