Сходимость многочленов на пространствах с мерами

• Автор: Бережной, Василий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Вспомогательные сведения
1.1. Локально выпуклые пространства
1.2. Некоторые факты из теории меры
1.3. Алгебраические и измеримые многочлены
1.4. О множествах сходимости многочленов
ГЛАВА 2. Многочлены на пространствах с гауссовскими мерами
2.1. Обозначения и вспомогательные результаты
2.2. Эквивалентность интегральных норм на пространствах многочленов
2.3. Эквивалентность норм в случае мер, абсолютно непрерывных относительно гауссовских
ГЛАВА 3. Многочлены на пространствах с выпуклыми мерами
3.1. Свойства выпуклых мер
3.2. Сходимость многочленов на пространствах с выпуклыми мерами
ЛИТЕРАТУРА
Работы автора по теме диссертации
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Изучение измеримых многочленов на бесконечномерных пространствах с мерами восходит к классическим работам Н. Винера, Р. Камерона, У. Мартина, К. Ито, И. Сигала1,2,3,4. Такие многочлены сначала появились в виде кратных стохастических интегралов по винеровскому процессу и рядов из многочленов от конечного числа переменных, а затем уже в более абстрактном виде. Позже они изучались многими авторами, см. работы5’6’7,8’9’10’11'12,13,14’15’16. В двух последних книгах подробно рассмотрен гауссовский случай и приведена обширная библиография по современным исследованиям. Негауссовский случай был впервые исследован О.Г. Смоляновым6 еще в 60-х годах.
Измеримые многочлены важны как для общей теории, так и для разнообразных приложений в статистике, математической физике, стохасти-
1Wiener N. The homogeneous chaos. Amer. J. Math. 1938. V. 60. P. 879-936.
2Cameron R.H., Martin W.T. The orthogonal development of non linear functionals in series of Fourier-Hermite polynomials. Ann. Math. 1947. V. 48. P. 385-392.
3Itô К. Multiple Wiener integral. J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3. P. 157-169.
4Segal I. Tensor algebras over Hilbert spaces. I. Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 81, N 2. P. 106-134.
°Вершик A.M. Общая теория гауссовских мер в линейных пространствах. Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, N 1. С. 210-212.
6Смалянов О.Г. Измеримые полилинейные и степенные функционалы в некоторых линейных пространствах с мерой. ДАН СССР. 1966. Т. 170. С. 526-529.
7Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т. 1. Наука, М., 1971.
8Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.
9Добрушин Р.Л., Минлос P.A. Полиномы от линейных случайных функций. Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, N 2. С. 67-122.
10Дороговцев A.A. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. Наукова думка, Киев, 1982.
11Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.
12Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Наука, М., 1987.
13Давыдов Ю.А, О распределениях кратных интегралов Винера-Ито. Теория вероятн. и ее примет 1990.Т. 35.С. 51-62.
l4Janson S. Gaussian Hilbert spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
15Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.
leBogachev V.l. Gaussian measures. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode bland, 1998.

ческом анализе. Это красивый и интересный объект, который определяется сравнительно просто, но обладает весьма нетривиальными свойствами и до сих пор является источником открытых проблем. Эти проблемы имеют как качественный, так и количественный характер, например, относятся к каким-либо асимптотическим свойствам или оценкам. Нередко проблемы такого рода имеют дело даже с конечномерными многочленами, но зависящими от большого числа переменных, не ограниченного в совокупности.
Хорошо известно, что на пространстве многочленов фиксированной степени на конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Для многочленов от бесконечного числа переменных это уже не так. Однако некоторые весьма содержательные аналоги указанного конечномерного факта сохраняются и в бесконечномерном случае. Например, известно, что для фиксированной радоновской гауссовской меры -у на локально выпуклом пространстве X при фиксированном натуральном d на пространстве Pdi'j) всех 7-измеримых многочленов степени не выше d эквивалентны все нормы из 1/(7). Характерной чертой бесконечномерного случая оказывается использование измеримых многочленов, которые не являются непрерывными или всюду определенными. Например, в случае меры Винера типичные измеримые многочлены задаются кратными стохастическими интегралами. Даже простейшие непостоянные измеримые многочлены первой степени, представляющие собой стохастические интегралы (интегралы Винера) детерминированных функций по винеров-скому процессу оказываются непрерывными функциями на пространстве траекторий лишь для детерминированных функций ограниченной вариации.
Попытки получить не зависящие от размерности аналоги конечномерного результата об эквивалентности норм восходят к работе Е. Ремеза17, в которой в одномерном случае получены оценки на рост модуля
17Remez E.J. Sur une propriété extremale des polynômes de Tschebychef. Сообщ. Харьк. мах. о-ва. 1936. T. 13. С. 93-95.

ГЛАВА
Многочлены на пространствах
С ГАУССОВСКИМИ МЕРАМИ
В настоящей главе мы докажем один из основных результатов диссертации - утверждение об эквивалентности 1Лнорм на пространстве измеримых многочленов степени д и аналогичных норм, построенных по сужению меры на множество положительной меры, в случае гауссовской меры. В отличии от рассмотрений предыдущей главы специальные свойства гауссовских мер позволило в этом случае получить законченные результаты. Затем мы рассмотрим некоторые меры, абсолютно непрерывные относительно гауссовских мер.
2.1. Обозначения и вспомогательные результаты
Напомним основные понятия и факты из теории меры на локально выпуклых пространствах, которые нам понадобятся в работе. Более подробное изложение теории гауссовских мер в локально выпуклых пространствах можно найти в [1], [29], а некоторые вводные сведения есть также в [9].
Определение 2.1.1. Вероятностная мера 7 ка прям,ой называется гауссовской, если она либо является дираковской мерой ёа, сосредоточенной в точке а, либо имеет плотность
. 9. 1 . Н — а)2.
относительно меры Лебега. В последнем случае мера 7 называется невырожденной.
Определение 2.1.2. Вероятностная мера с плотностью р(-,0,1) называется стандартной.