Усиленная сходимость аппроксимативных единиц

• Автор: Мозоляко, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 145 с.

Введение
Диссертация посвящена явлению усиленной сходимости аппроксимативных единиц, которое было открыто Бургейном в работах [15], [2]. Чтобы описать его, нам понадобятся следующие определения и термины.

Ядром мы называем такую вещественную функцию Ф е А1 (К), что /к Ф = 1.

Аппроксимативной единицей (а.е.), порожденной ядром Ф, мы называем семейство ядер

($(»))»>о> где

Ф(у)(ж) := ХЕШ, у> 0.

Символ ф * ф будет обозначать свертку функций ф, -ф на К (при предположениях, обеспечивающих ее существование).
Пусть д — комплексный заряд на К (борелевская сг-аддитивная функция множества). Положим

У) = (Ф(у) * ДХ®). ж 6 К, у >

(правую часть мы понимаем как /яФ(ц)(х — /)ф(£), подразумевая, что этот интеграл существует и конечен). В частности мы предполагаем, что ядро Ф — борелевская функция; если е/д = / скс, где / е А00 (К), то Ф можно по-прежнему считать функцией класса А1 (К). В этом случае вместо и% мы будем писать
Очевидно, Пт;доИф(ж,2/) = /(ж) в любой точке непрерывности функции / € А°°(К). Более того, для широкого класса ядер предел Нт.!/10 Иф(ж. у) (и Нт,до и%(х, у)) существует и конечен при п.в. х е К.
Эти факты хорошо известны ([10], [12], [6]), и тематику, относящуюся к предельному поведению величины Пф(х,у) при у X 0, х £ К, можно считать исчерпанной. Однако, в 1993 году Бургейн (см. [15], а также [2]) обнаружил новый феномен, который мы называем усиленной сходимостью аппроксимативных единиц. Он доказал, что если заряд д есть мера (т.е. если он неотрицателен), то для многих ядер (в частности, для ядер Пуассона, Гаусса-Вейерштрасса) во многих точках х е К вариация функции у > Иф(ж, у), у > 0 на промежутке (0,1] конечна, что, разумеется, сильнее, чем стремление этой функции

к конечному пределу при у [ 0. Из сказанного легко вывести, что такое усиленное стремление к пределу имеет место во многих точках х £ К. для любой вещественной функции / £ Б°°(Ш) (т.е. уаг„е{о,1]Иф(х,?/) < +оо).
С зарядом у Бургейн связал (неявно) некоторый класс точек С К (мы называем их точками Бургейна заряда у или функции /, если с1у = / йх), зависящий только от у, по не от ядра Ф, таким образом, что величина уагие(од] 4(а:,у) конечна для любой точки х £ Замечательный резульат Бургейна состоит в том, что если заряд у есть мера, то множество Ец весьма обильно: в любом невырожденном промежутке его хаусдорфова размерность равна единице. Феномен усиленной сходимости наблюдается и для неконгорых (не для всех!) комплексных функций / £ Л00(К), а именно, для /£ Заметим, что длина Ец множества Е может быть нулевой — даже если (1у = / г!х, где / £ (?(№). Случай ограниченной вещественной функции / мгновенно выводится из результата, относящегося к мерам, так как заряд йу = (||/||со — /)(1х есть мера, а 4'"“ = ||/||оо- Здесь следует отметить, что при / £ £°°(Е) соответствующий заряд не обязан быть конечным. Учитывая, однако, что принадлежность точки х множеству Езависит только от поведения у в окрестности х (см. и. 4.1.3), можно ограничиться рассмотрением ограниченных функций с компактным носителем, а тогда мера (1у будет конечной. С этими результатами и связано все содержание нашей диссертации.
История вопроса
Вопрос об усиленной сходимости а.е. в неявной форме появился в работе Рудина |22|, посвященной граничному поведению функций, аналитических и ограниченных в единичном круге В = {|г| < 1} (т.е. функций класса У/°°(Ю>)). По теореме Фату каждая такая функция при почти всех £ £ Т = {|г| = 1} имеет конечный радиальный предел 1ш1гт1 /(гС)- Рудин поставил вопрос о спрямляемости кривой /([О, С]), т.е. /-образа радиуса, соединяющего 0 и /. Он построил примеры функций / £ для которых эти длины
бесконечны при п.в. С £ Т ([22)). Более того, это возможно и для / из диск-алгебры (т.е. для / £ равномерно непрерывных в В). Конечность длины кривой /([0,<(])
равносильна конечности вариации функции г н-> /(г() на [0,1), т.е. усиленной сходимости величин /(гС) к своему пределу при г | 1.
Вопрос о возможном отсутствии усиленной сходимости величин /(гС) при всех ( £ Т (т.е. о бесконечности длин /-образов всех радиусов) для / £ #°°(В) остался открытым.
Неожиданный отрицательный ответ на этот вопрос в 1993 году дал Бургейн [15], [2], доказавший, что упомянутые выше длины обязаны быть конечными для многих С £ Т, какова бы ни была функция / £ /У°°(В). Бургейн заметил, кроме того, что аналогичное

явление наблюдается и дня ограниченных вещественных функций и, гармонических в В : уа1'ге[(),1) и(г£) < +оо для точек £ нз (зависящего от и) плотного подмножества окружности Т метрической размерности 1 на любой невырожденной дуге.
С.А. Виноградов и В.П. Хавин восприняли этот результат как утверждение об усиленной сходимости конкретной а.е. (ядро Пуассона для круга) и поставили вопрос о его применимости к другим а.е. На этот вопрос ответил Бургейн, распространив свой результат на широкий класс а.е. в [2], где вместо Т и О рассматриваются М и верхняя полуплоскость С+. Там же показано, что бывают а.е. (например, ядро Стеклова), для которых явление обязательной усиленной сходимости места не имеет.
Впоследствии результат Бургейна для ядра Пуассона был обобщен на многомерный случай в работе [21]. Заметим, что отказ от предположения об ограниченности или вещественности функции / здесь невозможен ([18|, [22]), но результат сохраняет силу, если комплексная / принадлежит №°(Ш).
В статье [2] Бургейн рассмотрел свертки Ф) * д, где д - мера на К, и показал, ЧТО (при некоторых предположениях о Ф И д) существует множество Ец С К, плотное в К, метрической размерности 1 в любом невырожденном промежутке, и такое, что при любом х € .£), "вертикальная вариация" (Ууигф ц)(х) меры д (т.е. вариация вдоль "вертикального" промежутка {ж} х (0,1] функции м!],) конечна. Выше мы уже объяснили, как из этого результата вытекает аналогичное утверждение о множестве Ef для вещественной / € Заметим, что оно весьма содержательно даже
для (вещественных) / £ С(М) Р) Кроме того, существование множества Е$ с
указанными свойствами доказано в [2] и для комплексных / 6 при условии, что
спектр функции / неотрицателен, т.е. для / € //°°(1К) (= множество граничных значений функций, ограниченных и аналитических в верхней полуплоскости С+).
Отметим, что вещественность функции / € А°°(К) является существенным условием — в работах [22), [18] были приведены примеры функций / класса НР(Ш) (и даже класса В МО), для которых Е/ = 0.
В части, касающейся пуассоновых а.е. (т.е. функций, гармонических в верхней полуплоскости С+) наша работа примыкает к исследованию граничного поведения интегралов Пуассона. Эти исследования, начатые в работах классиков ([12], [6], [10|) получили дальнейшее развитие в работах [5], [13]. Продолжаются они и сейчас (см., например, работы [16], [21], [19]). Тема работы [16] (оценки роста градиента гармонической функции) родственна нашей.
ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ В-ТОЧЕК.

следующее неравенство
с+1 (>3 * Рус?2/) *оЬк’Е(Хк' (й
]С4 ((ьз 1 * РмI аУ * р: (х

Из (2.2.18) и (2.2.19) получаем
|М * Р{у}йУ )*рз (хк)+ (2.2.19)
О—*5+3
ц*Р{у]йу * Рк (;Хк), 2 *+2 /
X (Л+1+ 1И£ |р * Ау}1 аУ *р (0Ьк,Лхк,1-) <и < < }к{хк) + ыс у*Р{у]ф/ *Р (хк).
(2.2.20)
Домпожив правую и левую часть (2.2.20) на Пк,е(хк) и проинтегрировав по хк, приходим к следующему неравенству

(2.2.21)
Д А+1 + У.С?+1 {1.)Ьк1е(хк,1)Пк,е(хк)(11,<1х:к
~ I (ЛЫ + §(с: [// * Р{у}йу) * Р (.г*.) Пцг(а;А.) сЬк.
По индукционному предположению правая часть в (2.2.21) не превосходит СЦдЦ, а левая часть (2.2.21) в точности равна
Д Л+1(г) + ХДГ’ Д3+3 Iм * Р(и1 №+1,<т(0 *'
Осталось заметить, что
П(У) < 32РУ € [2_-)+3,2 л"+4),
и. поэтому

(Х-л-з *Р;/- 3+3 Ры1 * Р(у)<Мг (2.2.22)