Условия однолистности в канонических областях, отличных от круга, и их применение к обратным краевым задачам

• Автор: Зиновьев, Павел Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 129 c. : ил

Глава I . Условия однолистности в канонических областях, отличных от круга

§ I. Применение метода квазиконформного продолжения

§ 2. Условия однолистности функций с симметрией

сдвига в полосе

§ 3. Функции с симметрией сдвига в полуплоскости

§ 4. Аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости

§ 5. Функции класса С1

Глава II . Однолистная разрешимость обратных краевых задач в случае бесконечно удалённой точки

на искомой границе

§ 6. Исследование решения обратной краевой задачи

по параметру у

§ 7. Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач
§ 8. Оценки разделяющих постоянных (случай полуплоскости)
§ 9. Симметричные решения обратных краевых задач
§ 10. Задача о двоякопериодической гидродинамической
решётке
Литература

В диссертации рассмотрены обратные краевые задачи (окз) теории аналитических функций для односвязных областей в случае, когда граница искомой области проходит через бесконечно удалённую точку. Исследованы вопросы существования и однолистности решения таких задач.
Теория окз для аналитических функций возникла из решения прикладных задач механики сплошных сред. Большой вклад в её создание и развитие внесли казанские математики и механики. Подробное изложение этой теории и её приложений можно найти в монографиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [60] , Ф. Д. Гахова [28] , М. Т. Нужина и Н. Б. Ильинского [48] , Р. Б. Салимова [55] ;
последние достижения изложены в обзорной статье [16]
Основные внутренняя и внешняя окз состоят в определении спрямляемого контура /_,2 и функции а7(г) , аналитической соответственно внутри или вне его, если заданы граничные значения
- и (в) + I (/(б) искомой функции в зависимости от длины дуги 6 , 0 ^ 5 « I , { - длина . Эти задачи
изучались во многих работах (см., напр., [60, 16] ). Исследованы вопросы существования, единственности, однолистности, устойчивости решения. Менее изучены окз в случае, когда искомый контур является неспрямляеглым. М. Т. Нужин [47] дал постановку и решение окз в случае, когда проходит через бесконечно удалённую точку. Однако дальнейшее исследование этих задач не проводилось.
Отметим, что окз с особыми точками на границах, когда в качестве параметра выступает декартова координата X , полярный радиус р или полярный угол у> , рассмотрены Р. Г. Авхадиевым
и Л. Н. Журбенко [I, 2]
Одним из центральных моментов исследования окз является вопрос их однолистной разрешимости в силу того, что неоднолистные решения физически нереализуемы. На это указывали основоположники теории окз [60, с. 6, 22, 58; 28, с. 320] . Изучению однолистной разрешимости окз посвящено большое число работ (см.
[ 9, 16] ). Л. А. Аксентьевым [13] выделено два направления исследований. В первом направлении - сильной проблеме однолистности - изучаются условия однолистной разрешимости окз в виде ограничений на данные функции и(5) и (5) ; второе направление - слабая проблема - связано с условиями на вспомогательную функцию р(0 ; здесь р (О - плотность, входящая в интегральное представление, которое дает решение окз после перехода к какой-нибудь канонической области (кругу, полуплоскости, полосе и т. д.).
Для продвижения в сильной и слабой проблемах однолистной разрешимости окз нужны признаки однолистности как в канонических, так и в других областях. Получение новых достаточных условий однолистности в различных областях представляет и самостоятельный интерес.
Всё вышесказанное определяет актуальность теш диссертации. Её целью является получение достаточных условий однолистности в областях, отличных от круга, и применение их к однолистной разрешимости окз в случае бесконечно удалённой точки на искомом контуре.
Кратко изложим основные результаты.
Диссертация состоит из двух глав, разбитых на десять параграфов. Нумерация утверждений единая по всей работе, формулы пронумерованы по главам.

Рассмотрим функцию й(т) = Ч/(Яе1~ о) . Её производная ^ '(г) - - Т- ^ 2-— обращается в нуль в точке ^-Тс ,
где <ГС ( 0 с Гс <; 1 ) - единственный корень уравнения
Яег = £>/(У -г). (1.зб)
Т
Поэтому пиис д(г) - —- * - ■= — и ■? ■? «мм
„ б/О-^-В
/ /?г - 2
—^ — = У , что и требуется в теореме 10.
Отметим предельный случай. Зафиксируем разность Я- & - А и устремим Я в бесконечность. В этом случае круги (иГ- АЯ преобразуются в полуплоскости Ял (е.~^иУ) £? - А , а из уравнения (1.36) находим, что Т0 = 0 . Следовательно, (1.35) будет выполнено, если А^ я/(2£) , тем самым доказан и пункт 2) следствия 6.
Заметигл, что при Я - ± 7/2 условие из пункта 2) следствия 6 уже, чем условие (1.28).
Следствие 7. Предположим, что функция -Р(С) регулярна в Н , удовлетворяет условию (1.12) и 2'(£) Ф 0 в И . Пусть Г/Т*) А 2'(х)1 ^ %(£) , и для мажоранты (С) выполняется одно из условий
• О
1) для некоторого комплексного числа и/с = А €.с область Уо (У г) пересекается с каждой окружностью / иХ - и201 = р,0<р < по системе дуг с суммой длин, не превосходящей ЫЛр (0 4),
причём А -2Ы 5Г/У ,
2) линейная мера пересечения области /0 (Н/) с прямой Ял(€^иГ) = 0 не превосходит 2.7*. /У
Тогда Я(С) однолистна в Н
Доказательство. I). Введём функцию у(£) -- 1п [У —■■ . Область значений функции у/ (£.) , К е ,
Ну р Д