Спектральная теория произведения самосопряженных операторов

• Автор: Денисов, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
Ведение
1 Теорема о нулях голоморфных функций
1.1 Пространства с индефинитной метрикой
1.2 Операторы в пространствах с индефинитной метрикой
1.3 Нули голоморфных функций специального вида
2 Спектральная функция для произведения самосопряженных операторов
2.1 Спектральная функция для произведения двух самосопряженных операторов АС, где А - неотрицательный
2.2 Пример С - самосопряженного оператора, у которого не существует спектральной функции
2.3 Спектральная функция для дефинизируемого оператора, представимого в виде двух самосопряженных
3 Свойства спектра произведения самосопряженных операторов
3.1 Инвариантные подпространства С - диссипативных операторов
3.2 Оценка числа отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов
Литература

Введение.
Линейные операторы, действующие в пространствах с индефинитной метрикой, играют заметную роль в современной математике, в частности в математической физике и теории функций, см., например: С.Л. Соболев [39], М.Г. Крейн [22], И.О. Иохвидов, М.Г. Крейн [21],
С.Г. Крейн, H.H. Моисееев [29], С.Г. Крейн, Н.Д. Копачевский [28], Р. Филипс, П. Лаке [30].
Одним из центральных вопросов, возникающих при изучении линейных операторов, самосопряженных относительно введенной индефинитной метрики, является существование у них собственной спектральной функции. Этот вопрос привлекал внимание исследователей с 50-х годов прошлого века. Первый результат в этой области — это работа М.Г. Крейна [22], опубликованная в 1940 году. В ней (в современной формулировке) было построено спектральное разложение «/-неотрицательного интегрального оператора специального вида. Далее, М.Г. Крейном и Г. Лангером в их совместной работе [26], была построена спектральная функция для «/-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пк. Затем Г. Лангер в работах [60], [62], исследовал вопросы существования спектральной функции для «/-самосопряженных операторов в пространстве Крейна и в регулярном (/-пространстве.
Альтернативное доказательство существования спектральной функции для «/-неотрицательного оператора в пространстве Крейна, было предложено Я. Богнаром в статье [51]. Его подход существенно ис-

пользуется в нашей работе.
Исследованию различных вопросов связанных со спектральными функциями а также приложения этой теории к исследованию дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, посвящены работы Р.В. Акопяна [7j, V. Jalava [57], [58], P. Jonas [59] и К. Veselic [65].
Для J-унитарных операторов в пространстве Крейна аналогичный круг проблем изучался в работах в работах Г. Лангера [60], В.А. Штрауса [45], P. Jonas [59],
Существование спектральной функции для С-самосопряжениого оператора в сингулярном С-пространстве было анонсировано в работе Е.А. Ларионова [33]. Но заявленные результаты оказались ошибочными, что показывает, в частности, пример, построенный в параграфе 2, главы 2, нашей работы.
В диссертации были найдены условия на С-самосопряжеиный оператор, действующий в сингулярном G-пространстве, при которых он обладает собственной спектральной функцией.
Не менее важным вопросом, возникающим при изучении линейных операторов, действущих в пространстве с индефинитной метрикой. является вопрос о существовании максимальных неотрицательных или неположительных инвариантных подпространств. Впервые этот вопрос был исследован С.Л. Соболевым для J-самосопряженного оператора в Пь В работе Л.С. Понтрягина [36] было доказано существование максимального неположительного подпространства у J-самосопряженного оператора в пространстве Пк. Далее, Г. Лангером этот результат был обобтцен на случай J-самосопряженного оператора в пространстве Крейна, см. [32].
Для ./-диссипативного оператора, действующего в пространстве Понтрягина ПК) доказательство существования максимального инва-

При подстановке (1.13) в (1.12) получаем:
]І9чр + іечр)ареч + Е «р(Яа«р, Щ)еч = А ,
Преобразуем полученное уравнение:
9=1 Р
(/?.д!9р. ич))ареч —- Л
9=1 Р
(,Рдр 4“ 7Єдр 4~ (ЛІІ'рї Ид) А$<др)(-рУ-д 0 (')
9=1 р
Умножая скалярно правую и левую части уравнения (1.14) на еч для каждого г/ = 1
2р=і9ір "1" ір (лИр.ні) Айір)о:р
Хр=і(2р 4~ ЪС‘2,р 4“ (ЛдИр, У‘2') АУр)(Ур
] (Яир + іикр 4 (ЯА«Рі ик) Ацр)(у.р О
(1.15)
Систему (1.15) можно переписать в матричном виде:
/ 9п + (Длю,«і) +іе\ — Л ... зік + (Яик,иі) -і геі„ скі
921 + (ЛдИі, И2) Д ЇЄ21
92« + (Да«к, И2) -і

= 0 (1.16)
У 9« 1 Д (ИдР.1, ид) Д 2вл1 . 9кк Д (-АлЩк) 1 №кк А у у у В силу существования собственного вектора ж из £+, нетривиальное решение системы (1.16) относительно где р = существует,
следовательно:
511 -I (ЛАИ1,иг) Д ген - Л ... дх* + (Пик,и{) + 1ек
.921 Д (ЯлИьИг) Дге21 ... 92« Д (йа«к, Иг) Д *е2к
(ІЄІ
О (1.17)
9«1 Д(Да«1,мк) Д гек1 ... дкк Д {Пик,ик) Д гекк - Л у
Таким образом, полученное уравнение (1.17) относительно А имеет ровно к корней с учетом кратности, так как детерминант матрицы