Формулы Фейнмана для эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

• Автор: Пляшечник, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение
1 Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова
2 Параболические уравнения
2.1 Постановка задачи
2.2 Приближающие операторы
2.3 Формула Фейнмана для автономного случая
2.4 Формула Фейнмана в общем случае
2.5 Уравнения на римановых многообразиях
3 Уравнения типа Шредингера
3.1 Постановка задачи
3.2 Одномерный случай
3.3 Приближающие операторы
3.4 Формула Фейнмана
Литература

Введение
В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Трумена [15] такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана. В лагранжевых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона [17] при помощи теоремы Троттера. В гамильтоновых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе [15], где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца. Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций (траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой

теории поля (см., например, книги С. Вайнберга [13], М.Е. Пескина и Д.В. Шредера [14]).
Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были получены самим Р. Фейнманом [12] (опиравшимся на одно наблюдение П.А.М. Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа; многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова [21] и [22].
Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова [5] и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вайцзеккера и О. Виттиха [4]. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.
Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по типу соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.
Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности полученного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а реше-

условия теоремы 2. Их выполнение следует из доказанных свойств операторов в) и предложения 2, в котором в качестве £>о выбрано пространство Со3о(М"). □
2.5 Уравнения на римановых многообразиях
Методы, использованные в предыдущих разделах, без труда переносятся на случай многообразий. Рассмотрим риманово многообразие N размерности п без края. Мы предполагаем существование такого S > 0, что все требуемые далее оценки справедливы в 5-окрестности любой точки х €Е N с независящими от х константами. Пусть на N задана дважды непрерывно дифференцируемая ограниченная функция а(х), причем а(х) > С > 0. Производные а(х) предполагаются ограниченными в следующем смысле. Найдется такое С, что для любой точки х Е N в окрестности радиуса 5 значения производных функции а в нормальных координатах центром в х ограничены числом С. Также пусть задано ограниченное один раз непрерывно дифференцируемое векторное поле Ь(х), где ограниченность и дифференцируемость понимаются аналогично описанному выше. Кроме того, пусть задана непрерывная ограниченная функция с(ж).
Обозначим через X одно из пространств Lp(N,vol(-))i Рассмотрим в пространстве X при 0 < t < Т семейство операторов
«(()/)(*) = (2х()-”'Ъ(Ж’,/2 J ехр f(y)vol(dy).

Здесь U(ж) обозначает шар с центром в х радиуса S.
Пусть теперь N изометрически с помощью отображения ф вложено в другое риманово многообразие М. Тогда в X можно задать другое семейство