Спектральные задачи и вопросы базисности, возникающие в теории гидродинамической устойчивости

• Автор: Шейпак, И. А.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1995
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Вязкое симметрично-возмущенное течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.
§ 1. Постановка задачи. Основные определения
§ 2. Асимптотика собственных значений линейного пучка
§ 3- Базисность Бари со скобками для собственных и
присоединенных функций задачи
§ 4. Базисность Бари без скобок
§ 5. Предельный случай
§ 6. Связь задачи о течении жидкости между двумя цилиндрами
и конвекционном течении жидкости, подогреваемой снизу
ГЛАВА II. Несимметрично-возмущенное течение невязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Структура существенного спектра
§ 3. Локализация дискретного спектра
§ 4. Структуры дискретного спектра
ГЛАВА III. О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Сходимость рядов по корневым векторам оператора,
близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина
§ 3. Базисность Бари со скобками корневых векторов оператора
ь, отвечающего задаче о колебаниях вязкой капиллярной
жидкости
Литература

ВВЕДЕНИЕ.
В настоящей работе изучаются спектральные задачи, возникающие в гидродинамике. К наиболее важным и исследуемым относится вопрос о гидродинамической устойчивости: если
течение задано, устойчиво ли оно относительно бесконечно малых возмущений?
Предполагается, что для случая бесконечно малых возмущений уравнения можно линеаризовать, т.е. членами квадратичными и более высоких порядков относительно возмущений пренебрегают. Для линеаризованных уравнений можно ожидать, что будут существовать решения, зависящие экспоненциально от времени. Граничные условия для возмущений обычно однородны, и мы получаем задачу на собственные значения некоторого оператора, действующего в некотором функциональном пространстве. В зависимости от расположения собственных значений на комплексной плоскости решается вопрос об устойчивости решений.
Среди наиболее известных следует упомянуть задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися концентрическими цилиндрами (течение Куэтта между двумя цилиндрами) и задачу о плоскопараллельном течении жидкости, приводящей к уравнению Орра-Зоммерфельда. Различными проблемами, связанными с устойчивостью решений этих и других задач занимались многие математики ([7] ЛЮ], [18],[191, [32], [331Л35],[38] и др.).
Но относительно мало внимания было уделено базисным свойствам системы собственных и присоединенных функций

соответствующих задач. Этот вопрос представляет интерес не только с точки зрения спектральной теории. С ним тесно связаны исследования эволюционных задач с начальными данными. Кроме того, первый успешный анализ гидродинамической устойчивости для течения жидкости мевду цилиндрами, проведенный Дж.Тейлором [48], опирался на идею о возможности разложения решения в ряд по ортогональной системе функций. При этом вопрос о справедливости и свойствах этого разложения не решался.
Большим продвижением в данном направлении была работа И.Шенстеда [45]. Пользуясь классическими методами, для уравнения Орра-Зоммерфельда ему удалось показать полноту
собственных и присоединенных функций в классе с* [а,Ь]
дважды непрерывно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на отрезке [а,Ь], где а и Ъ -границы плоскопараллельного течения жидкости. Отметим, что система собственных функций не была вычислена ни для одного конкретного течения. Даже более того, основные свойства системы собственных функций ни для какого течения не исследовались в достаточной степени.
Основываясь на работе М.А.Наймарка [28], Р.С.Ди Прима и Г.Хабетлер усилили результат И.Шенстеда, расширив предложенный

им класс функций до її*[а,Ь]. Кроме того, наряду с уравнением
Орра-Зоммерфельда, они рассмотрели течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Для этой задачи ими показана полнота системы собственных и присоединенных функций в пространстве

# ((а,Ъ);/~г ) х Ь2((а,Ь);тгг~ ). Вопрос о базисности так и

/ -р. 2 2ч2
(С - а )

"Ч " уу

. 0

' w '
Ч Ф
, (1.18)
где Б = Граничшми условиями будут
Vi(z)
уу(г) = О, 0(г) =0, г - 0
Легко видеть, что это в сущности те же уравнения, ЧТО И (1.3), если положить (о(г) постоянной функцией, а оператор ь заменить на оператор Б.
Методами, использованными при доказательстве теоремы 1.6, можно доказать, что собственные значения Л. невозмущенной
задачи
/т.г
(В - а ) О

,2 2 ,
ч V? ’ = (В2- а2) 0 ' Ґ
. 0 . 0 1

(1 .19)
удовлетворяют неравенству | | > с'2. Порядок подчинения р в
этом случае также равен 0.
Таким образом, для собственных функций задачи (1.18)справедлив аналог теоремы 1.6:
Теорема 1.Ю Собственные функции задачи (1.18), отвечающей конвекционному движению жидкости, образуют базис Бари в

пространстве «£(0,1) х Ь2(0,1).
Доказательство: Представим уравнение (1.18) в виде
(А + ЮТ = V» (1 -20)