О задаче Коши для когомологий Дольбо

• Автор: Шестаков, Иван Вениаминович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение

1 Первые Д-когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое

1.1 Комплекс Дольбо над пространствами распределений

1.2 Постановка 5-задачи

1.3 Гармоническое пространство и образ оператора д

1.4 Эквивалентные задачи

1.5 Об условиях разрешимости неоднородного уравнения Ко-ши-Римана в шаровом слое

1.6 Идентификация гармонического пространства

для шарового слоя в С"

2 Формулы Карлемана для когомологий Дольбо в областях

с вогнутой частью границы
2.1 Ядро и формула Коппельмана
2.2 Абстрактная схема построения формул Карлемана
2.3 Теорема единственности для когомологий Дольбо
2.4 Примеры формул Карлемана
2.5 Следствия формулы Карлемана
3 Задача Коши в пространствах Соболева для оператора Коши-Римана
3.1 Функциональные пространства
3.2 Слабые граничные значения Соболевских функций

3.3 Интегральные операторы
3.4 Критерий разрешимости задачи Коши
3.5 Формула Карлемана
Заключение
Список литературы

Введение
Как правило, в каждом разделе математики существуют ключевые проблемы, обуславливающие его развитие. Это могут быть задачи, пришедшие из практики или чисто теоретические вопросы, возбуждающие любопытство человеческого разума. В многомерном комплексном анализе к таким проблемам можно причислить задачу решения уравнения ди = /, или 9-уравнения. В двадцатом столетии она часто воспринималась как «основная задача комплексного анализа». Это связано с тем, что многие задачи комплексного анализа сводятся к решению 9-уравнения. Например, для построения голоморфной функции с заданными свойствами сначала отыскивают гладкую функцию с нужными свойствами, а затем разлагают ее в сумму двух функций, первая из которых голоморфна, а вторая - в каком-то смысле мала (см. [19]). В этом случае первая функция может оказаться искомой, второе слагаемое ищется в виде решения уравнения Коши-Римана. Интерес к 9-уравнению вызван также тем, что имеется широкий класс дифференциальных уравнений, которые заменой сводятся к нему. В ряде случаев это дает возможность в той или иной мере охарактеризовать решения исходного уравнения.
Известно, что решение 9-уравне1шя в ограниченной области комплексной плоскости задается интегралом Коши-Грина. При п > 1 ситуация не столь очевидна (см. обзоры [19], [18]). Во-первых, необходимым условием разрешимости уравнения да = / является 9-замкнутость правой части, т.е. условие 9/ = 0. Во-вторых, в условия разрешимости «вмешивается»

Учитывая равенства (1.8), (1.10), (1.11), получаем, что функция
2п+2и
п(ф-ди) = 5(а[?)-41))*) + 5(Ь[,,)-4г)(в*-(п + 1/-1)))
1/,г
равна нулю в В.
Поскольку коэффициенты разложения в ряд Лорана определяются однозначно (см. [14, следствие 8.11]), то

= 4***4, ЬУ = к1гзг - (п + V - 1)).
При п > 2, очевидно, 0<8{<и<п + и — 1. Следовательно, имеем я, — (тг + — 1) < 0 и
Л) 7,(0
= 4г'}
к ’ * ’ " в* — (га + г/ — 1) ’
Многочлены (г;), для которых £г- = 0, являются голоморфными, так как не содержат "г. Понятно, что решение и уравнения (1.3) находится с точностью до голоморфного слагаемого. Поэтому мы не будем учитывать слагаемые с/г(г), для которых к — 0, и докажем, что ряд
,(0 00 'М ф) Л),
*(*) = Е 4°(*) + Е Е ——ту I Е; а.12) уг *< «»<-("+"-1)и2"«
сходится в П(5) и является решением уравнения ди = / в В.
Лемма 1.5.2. Если д & к'2(В) П к(В), то правильная и главная части разложения Лорана функции д сходятся в Ь2{В).
Доказательство. Обозначим через
СО лв 00 Лу)
= Е Е 4°4°). 1=0 г=1 г/—0 г
соответственно правильную и главную части ряда Лорана для д. Как известно (см., например, [14, следствие 8.11]), ряд С сходится в Щос(Вц), а ряд б?2 сходится в Н}ос{С" ВТ).
Шг)
2п+2и