Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле

• Автор: Галимов, Артур Нилович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 74 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Исследование особенностей резольвенты
§1. Интегральное уравнение теории возмущений
§2. Исследование множества £1
§3. Исследование множества £2
Глава II. Свойства решения уравнения Липпмана-Швингера и разложения по собственным функциям
§4. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения уравнения Липпмана-Швингера
§5. Аналитическое продолжение функции (р(х, А, ш)
§6. Свойства резольвенты и разложение по собственным функциям
Список литературы
Введение
Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.
Известно, что при а(х) = 0. т.е. отсутствии магнитного потенциала, уравнением Липпмана-Швингера называется интегральное уравнение
где А - вещественный параметр, ш £ б'2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А.Я. Повзнер в работе [11], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [12]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т.Икэбе [23], Л.Д. Фад-деева [16], Д.М. Эйдуса [18], С.Куроды [24] и других авторов
(0.1)

(с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2], [9],[13]-[15],[19]-[22]). Итоги этих исследований подведены в книге [14]. В частности, в этой книге изучается условие Роль-ника:
х - у~2У{х)У[у) е ЦК6), V е ЦК3). (0.2)
Введем однородное уравнение
/ + К( А)/ = О, (0.3)
где К(Х) - интегральный оператор с ядром
ргХх—у
4ттх - у|
уравнения (0.1). Изучение особенностей по параметру Л решения Цж, А, ш) уравнения (0.1) сводится к исследованию мно-
жества £ тех А, при которых однородное уравнение (0.3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений /(ж). В теореме XI.41 из работы [14] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (0.2) множество £ ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [10] (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (0.2) множество £. на самом деле, конечно и если А £ £ {0}, то А2 - собственное значение оператора Шре-дингера конечной кратности. Кроме того, в работе [10] (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено,
К(х, у, А)
Так как lim т,, = 1, lim т„ = 0, то из (3.9), (3.13)-(3.14)
-Р = 1, lim -(2)
n-Лоо п—>оо
непосредственно вытекает (3.2), если мы только покажем, что
эир /Зп < оо. (3.15)

Для доказательства (3.15) вначале заметим, что /п(х) удовлетворяет уравнению
-Л/Д.г) = Л2/„(ж) - тп1Т„/п(.х)
= А2/Дж) + 2 г ту 4П)(Ж)~Д ~ т)гФп(т)/п(х). (3.16) *=1
Легко видеть, что при б > О
- /* А/п(ж)/п(ж)(1 + |х|)“1_еж = [ |У/п(ж)|2(1 + |х|)~1_ЛД-

“(Х + б) 2 / dfjf + ИГ*“* (3-17)
fc=1 R3
Поэтому из (3Л6)-(3.17), используя (3.6) и неравенство Коши - Буняковского, найдем, что
l|V/n||ii_e = У Vfn(x)}(l + x)-1~'dx
(i+f)E /ÄWxd+wr-
fc=l тп,Я
-с?.х+