Пространства с гипергеометрическими воспроизводящими ядрами и дробные преобразования типа Фурье

• Автор: Карп, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 116 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Пространства аналитических функций с
гипергеометрическими воспроизводящими ядрами
§1.1 Предварительные сведения
§1.2 Пространства с весом общего вида
§1.3 Пространства целых функций
с гипергеометрическими ядрами
§1.4 Пространства с гипергеометрическими
ядрами на круге
ГЛАВА 2. Квадратичная суммгфдеэдфьтрь с геометрическим весом
для классических оргойх «разложений
§2.1 Введение и предварительные результаты
§2.2 Характеризация пространств Лвл - первый метод
§2.3 Характеризация пространств Л - второй метод
ГЛАВА 3. Дробные преобразования типа Фурье
§3.1 Пространства основных и обобщённых функций
§3.2 Дробные преобразования типа Фурье
определение и основные свойства
§3.3 Интегральные представления операторов
§3.4 Операционное исчисление
для дробного преобразования Ханкеля
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Основным инструментом исследования в диссертации служит теория воспроизводящих ядер (ТВЯ). Истоки этой теории лежат в работах Бергмана [59], Мерсера [97], Мура [99] и Зарембы [135] начала века. Первое полное изложением теории воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах было осуществлено Ароншайном в его работах 1944-го года [51] и 1950-го года [52]. Именно после работ Ароншайна ТВЯ выделяется в отдельный предмет исследований. Одновременно с работами Ароншайна выходят статьи Гарабедяна и Шиффера [76] и Нехари [107, 108], в которых воспроизводящие ядра применяются для решения ряда экстремальных задач в теории функций комплексного переменного и находится связь между ВЯ и функциями Грина. Тогда же появилась ставшая классической монография Бергмана [60], в которой автор при помощи ядра, носящего сейчас его имя, обобщает ряд результатов теории функций одного комплексного переменного на функции нескольких комплексных переменных. Независимо от перечисленных авторов, М.Г. Крейн в это же время публикует большую статью [28], в которой исследует эрмитово-положительные ядра (которые, согласно теореме Мура-Ароншайна, являются воспроизводящими), заданные на однородной топологической группе и инвариантные относительно действия этой группы.
В 1964 году Лоран Шварц [124) обобщает теорию воспроизводящих ядер на пространства с индефинитной метрикой, введённые несколько раньше Л. С. Понтрягиным [35) и, независимо, Неванлинной и Песоненом [111], [112] и изученные М.Г. Крейном, И.С. Иохвидовым и другими авторами. Полное изложение теории пространств с индефинитной метрикой можно найти в книгах Богнара [61] и Т.Я. Азизова, И.С. Иохвидова [1]. Современное изложение ТВЯ в этих пространствах содержится в книге [48], диссертации Соржонена [126], статьях [46, 47]. Хорошим введением в ТВЯ в гильбертовых пространствах могут служить лекции Хилле [83] и книга Мешковского [98].
Применения теории воспроизводящих ядер весьма многочисленны. Об использовании воспроизводящих ядер в теории конформных отображений можно прочесть в книге Нехари [106]. Другие применения ТВЯ в теории функций комплексного переменного включают новые неравенства для аналитических функций [66, 119] и созданную де Бранжем теорию оценивания однолистных функций [7, 64]. В частности, ТВЯ была использована де Бранжем при доказательстве гипотезы Бибербаха. О применениях в

теории интерполяции можно прочесть в обзорной статье [73]. Отдельно отметим книги Сайто [120, 121], полностью посвящённые ТВЯ в гильбертовых пространствах и в особенности приложениям. В частности, Сайто применяет ТВЯ для получения ряда новых результатов в теории интегральных преобразований, теории аппроксимации, теории устойчивости, теории нелинейных операторов и в некоторых других областях. В статье Сайто [122] ТВЯ используется для вывода формул аналитического продолжения. Связь ТВЯ с теорией операторов преобразования исследована в книгах Джильберта и Бегехра [77, 78].
Пространства Понтрягина аналитических в круге функций были рассмотрены в обзорной статье [47]. Пространства аналитических в круге функций с ядрами инвариантными относительно вращения и весом общего вида рассматривались в ряде работ, из которых упомянем лишь статьи Алемана и Сискакиса [45] и Крита [93]. Явные выражения для ядер на круге были получены в работе Инниса [85]. В статье МакГрегора и Стессина [95] найдены явные выражения для ВЯ в пространствах с весом в виде степени модуля рациональной функции. Гильбертовы пространства с гипергеометричес-кими ядрами встречаются в работах Бурбеа [65] и Куткоски [71]. Гипергеометрические функции нескольких переменных являются ядрами Бергмана некоторых специальных областей в Сп, как доказано недавно в [74].
Исследованию связи между поведением коэффициентов Фурье функции по некоторой системе ортогональных полиномов и свойствами самой функции посвящена обширная литература. Отметим лишь книги и монографии об ортогональных полиномах и разложениях по ним, а также некоторые статьи, в которых рассматриваются разложения аналитических функций. Теория общих и классических ортогональных многочленов содержится в классической монографии Сегё [40], в книгах Сансоне [123], Чихары [69], Фройда [75] и монографии Невая [110]. В качестве учебника можно порекомендовать книги П.К. Суетина [42], А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова [31]. Ряд специальных вопросов теории ортогональных полиномов, их связь с гипергеометрическими функциями и применения в некоторых разделах математики рассматриваются в лекциях Ричарда Аски [53]. Разложению аналитических функций в ряды по классическим ортогональным полиномам посвящена книга Русева [118]. Разложение функций аналитических в полосе по полиномам Эрмита изучал Хилле [84]. Разложения распределений умеренного роста по этим полиномам обсуждаются в книге Антосика, Минусинского и Сикорского [49]. Некоторые пространства целых функций, также характеризуемые в терминах коэффициентов Фурье-Эрмита, рассмотрены в статье Янсена и ван Айндхо-вена [86] и в книге Ю.М. Березанского и Ю.Г. Кондратьева [6].
Разложению функций аналитических во внутренности некоторой параболы по полиномам Лагерра посвящена работа Бояджиева [62]. Разложение целых функций по этим полиномам исследуется в заметке Заеда [136], распределений умеренного роста

Это гильбертово пространство с квадратом нормы

тгГ(6)
11/(*)12И2(6
и воспроизводящим ядром К(г,и) = 1*1(1; Ь; 0-ги), где 1*1 - вырожденная гипергеомет-
рическая функция Куммера [4]. Это пространство введено в [65, 66].
Примеры 4-8, по-видимому, ранее в литературе не рассматривались.
4. Пусть р = 1, д = 1, а = (3 - и)/2, Ь = 3/2, € К, г/ 2А: + 3, к <Е N0, 0 > 0.
Функция Мейера приводится при этом к виду:

20 I л2| „|2
0 1/2/2 ) =2~1'12<г¥М2Пи{21/20к|) ,
где - функция параболического цилиндра [5]. Получаем пространство Понтрягина с внутренним произведением
[/.»] = (2‘/!«М) *

и воспроизводящим ядром К (г, и) = 1*1 ((3 — г/)/2;3/2 ;в2гй).
5. Пространство, введённое автором в [15]: р = 0, д = 1,Ь>0, б>0,

= 26 |г| (2ф|),
где Кь-1 - модифицированная функция Бесселя второго рода [5, раздел 7.2.2] (функция МакДональда). Это гильбертово пространство с квадратом нормы
2 _ 29ь+1
тгГ(Ь)
1!(г)2гь-1Кь(2вг)с1а, (1.46)

и воспроизводящим ядром
К{г,и) = 0*1 (Ь; в2гй) = Г{Ь)в1-ь(гй){1-ь)/21ь (29{ги)112) ,
где Д - модифицированная функция Бесселя первого рода [5, раздел 7.2.2].
6. Пространство, связанное с разложениями по полиномам Лагерра. Произведя замену Ь - 1 —» V, в —» /Р/{/3 — 1) и применив следствие 1.4.1 с в(г) — ехр(-г/08-1)) к