О существовании ненулевых решений уравнений Лапласа и Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах

• Автор: Астахов, Александр Тимофеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1. Критерий существования ненулевой, гармонической в ЛП функции, обращающейся в нуль на конусе
§2. Критерий существования ненулевой, гармонической в функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов
§3. Убывание гармонических функций в конусе пространства НР'
§4. Убывание полигармонических функций в конусе
пространства Яп
§5. Критерий существования ненулевого решения, уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах
§6. Критерий существования ненулевой функции, с
нулевыми сферическими средними
§7. О скорости убывания на бесконечности решений
уравнения Гельмгольца
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В фундаментальных и прикладных исследованиях важное место занимают уравнения Лапласа и Гельмгольца. Свойства решений этих уравнений находят многочисленные применения.
В обзоре [36, стр.494] сформулирована следующая задача: при
каких OL существует ненулевая, гармоническая в R функция,
/ 2 I 21/2
равная нулю на конусе (32 т Ж3 J — OiX ? В настоящей
диссертации этот вопрос решается для случая Rn
В теории аналитических функций хорошо известна следующая
Теорема. Пусть аналитическая функция UJ регулярна в угле
| argz| < 7r/2/io, z > а (Re z О) . Если внутри угла
iü(z) < Сехр{— rh°+r]}, г = z,
с любыми фиксированными С б> 0, Hq > 1 и т > О , то
и = 0.
Следует сразу же отметить, что этот результат может быть уточнен [см., например, [12] стр.209]. Однако пример функции
Lü(z) = ехр{—Г] > 0,
в угле | arg | < 7г/2/?-о, Rez > 0 , показывает, что существенное усиление теоремы уже невозможно.
Теорема устанавливает предельную скорость убывания регулярной внутри данного угла функции, при которой эта функция еще отлична от тождественного нуля. С помощью конформных отображений из теоремы получаются оценки предельной скорости убывания аналитических функций, регулярных внутри других бесконечных областей типа угла или полуполосы.

Постановка задачи о предельной скорости убывания легко переносится с аналитических функций — и(х, у) + у)
которые можно рассматривать как решения системы Коши—Рима-на на решения других эллиптических систем и уравнений. При этом интересен в основном случай более чем двух независимых переменных.
Требуется установить наличие предельной скорости убывания и найти ее оценку, во-первых, через степень эллиптичности соответствующего дифференциального оператора и, во-вторых, через геометрические характеристики области.
Пусть и(Х) —гармоническая функция трех переменных ХХ1Х2 в некоторой неограниченной области Е) . Требуется оценить функцию ) — нижнюю грань таких функций
ЫХ) , что из условия
|и(Х)| < Сехр{—<р(Х)}
следует
и(Х) = 0.
Существование <р(Х) доказано Е.М. Ландисом для решений любого эллиптического уравнения второго порядка, коэффициенты которого ограничены вместе с двумя первыми производными; однако метод, примененный в этой работе, не позволяет существенно улучшить полученную оценку Ср(Х) в сколь угодно ’’хорошем” частном случае, например, даже для решений системы Коши—Римана (т.е. для аналитических функций).

2й(1
2л4-1 <1Хк-№) сИ
+а2('1 - 2)(1 - г2)2 2хк(г)--г(1 -г2у 1хк-&)
(1 _ ЙЙДЙ _ 2й{1 - 12Е1 ЛХ
с!г сИ
+г(1 - £2)2 2(й2 - г2 - 1)Х«_*().
Подставляем найденные значения в уравнение (1.11), имеем:
( с№*(£) лАи%к$)
(! - *) -Ж1 “ (" - Й'
<а2 си

+к(к + п — 2)игк(Ь) — г (г + п — 3)
1-£2
= (1 - 12)% 1 - 42) _ 20
сИ сИ
, < ((< - 1) - 1) V
п -1)*— *«-<(*)+
Хк_ф) + к(к + п — 2)Хк_ф)

г (г + п — 3)

Хк-Ш