Оценки спектрального радиуса линейного оператора и ускорение сходимости некоторых итерационных методов решения операторных уравнений

• Автор: Костенко, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 148 с.

Глава I. Оценки спектрального радиуса положительного оператора, исходя из поведения линейной комбинации степеней этого оператора на фиксированном элементе конуса К
§1. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора при условии телесности конуса К
§2. Дальнейшее развитие теорем об оценке спектрального радиуса
§3. Распространение теорем об оценке спектрального радиуса на случай нетелесного конуса и слабо неразложимого оператора
§4. Несовместные неравенства
§5. Оценки спектральной характеристики монотонного положительного оператора
Глава II. Сравнение спектральных радиусов двух линейных положительных операторов. Построение уточненных значений спектрального радиуса и приближений к решению линейного операторного уравнения
§6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора с помощью сравнения его некоторой степени с рядом степеней специально подобранного оператора
§7. Построение последовательности приближенных значений к спектральному радиусу линейного положительного оператора
§8. Квалифицированные оценки спектрального радиуса
§9. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения
Глава III. К вопросу о разрешимости операторных уравнений с параметром
§10. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами
§11. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке
§12. О разрешимости операторных уравнений с нелинейно входящим параметром
Литература

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.
Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. Приведем лишь некоторые из них.
1. Имеет ли решение данное уравнение, и если да, то единственно ли оно?
2. Устойчиво ли данное уравнение в том смысле, что малое изменение задаваемых величин влечет за собой малое изменение результирующих величин?
3. Если существует оператор, в каком-то смысле аппроксимирующий исходный, то позволяет ли решение уравнения с этим оператором строить достаточно хорошие приближения к решению соответствующего уравнения с исходным оператором?
4. Существует ли и каковы эффективные итерационные методы, позволяющие улучшать выбранное тем или иным способом начальное приближение к решению уравнения?
В настоящей работе исследуется лишь некоторая часть приведенных вопросов.
Диссертация состоит из введения и трех глав. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы. В диссертации приведен ряд известных результатов. Основные из них пронумерованы с помощью заглавных букв латинского алфавита для облегчения ссылок.
Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором Стеценко В.Я. При этом в соответствующих результатах Сте-ценко В.Я. принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теория полуупорядоченных пространств [16], [17], [19], [21], [5]. Прежде чем перейти к обзору основных результатов, приведем некоторые определения.
Будем рассматривать банахово пространство Е, полуупорядоченное конусом К, и оператор А произвольной природы, действующий в Е.
Конус К называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент х пространства Е может быть представлен в виде х=и- г (и,уєК), то конус К называется воспроизводящим. Конус К называется нормальным, если из неравенства в<х<у следует, что |М|<М|[у||, гДе М=соті - константа нормальности, не зависящая ни от х, ни оту.
Множество К функционалов сопряженного пространства Е*, принимающих неотрицательные значения на элементах полугруппы КсЕ, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К* была конусом приходится налагать дополнительные условия на конус К.
Будем говорить, что х0єКс£ является квазивнутренним элементом и обозначать х„»9, если для каждого ненулевого функционала ІєК* выполняется неравенство 1(хо)>0. Положительный линейный оператор А назовем неразложимым, если из того, что х>9, х>аАх (а>0), следует, что х» в. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Е множество в компактное множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения Я, при которых уравнение
Ах-Аху/'
где А - рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор (А-І)'1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Я, не являющихся регулярными, называется спектром оператора А и обозначается а(А). Спектральным радиусом р(А) оператора называется число, определенное формулой
р(А)=тах |Я|, (Яєа(А)).

чение. Пусть для некоторого м/0> 0 имеет место неравенство Ахо>Лус0. Тогда для
каждого ненулевого х> в и при всех Л: 0<Л<Ло ЯхїАх
является следствием теоремы 4.2 при т=1, .у О- В этом случае Л0-а0.
§5. Оценки спектральной характеристики монотонного положительного оператора
Откажемся от требования линейности рассматриваемого оператора. Пусть В -положительный полуаддитивный и однородный на К оператор, т.е. такой, что для любых х, у еК, 1>0 выполняются неравенства:
В(х+у)<В(х)+В(у);
В(іх)=іВ(х).
Аналогом спектрального радиуса для оператора В в этом случае является спектральная характеристика Л(В). Приведем соответствующее определение.
Рассмотрим множество М чисел Л>0, для которых не пусто множество элементов л х(Л)>в, удовлетворяющих неравенству В(х)>Лх. Положим
Л(В) - $ир{Л : В(х) > Лх,х є М}.
М заведомо не пусто, так как ОєМ, следовательно, Л(В)>0.
Приведем один известный результат [28], позволяющий оценить величину Л (В) сверху.
Теорема А. Пусть оператор В По-ограничен сверху и для некоторого у()> в, У(І>/ІИ(), где Р>0, выполняется условие
В(с,))<ах{).
Тогда Л(В)<а.
Следствие. Пусть В н0-ограниченный сверху оператор и для некоторого у0>в, Уи>{ІИц, где Р>0, выполняется условие
В'">(ч0)<ас0. (5.1)
Тогда Л(В) <”4а
Доказательство. Пусть утверждение следствия не имеет места, тогда существует такое ё>0, что Л(В)~ є>"4а . По определению Л =Л(В) для выбранного є существует элемент х=х(є)> Атакой, что