Равномерное приближение классами функций с ограниченной старшей производной

• Автор: Мироненко, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 137 с.

Введение
Определения и предварительные сведения
Глава 1. Характеризация элемента наилучшего равномерного приближения в классе V11
§ 1.1. История'вопроса
§ 1.2. Лемма
§ 1.3. Основная теорема
§ 1.4. Конструктивное доказательство основной теоремы ... 41 § 1.5. Однозначность определения ЭНП характеризацией
Глава 2. Соотношения между величинами наилучшего приближения классом V2
§ 2.1. Основная теорема
§ 2.2. Вспомогательные утверждения
§ 2.3. Доказательство основной теоремы
2.3.1. Доказательство неравенства (2.1) между ВНП
на всём отрезке и ВНП на трёхточечных сетках
2.3.2. Доказательство неравенства (2.2) между ВНП на равномерных трёхточечных сетках и ВНП
на произвольных трёхточечных сетках
2.3.3. Точность константы 1 в неравенстве (2.1)
2.3.4. Точность константы | в неравенстве (2.2)
2.3.5. Точность константы в неравенстве (2.3)
Глава 3. Соотношение между величинами наилучшего приближения классом Т)д
§ 3.1. Основная теорема
§ 3.2. Гипотеза о возможном виде неравенства

Глава 4. Связь между величиной наилучшего приближения классом Vя и модулем непрерывности
§ 4.1. Основная теорема о связи между модулем непрерывности и величиной локального приближения на равномерных сетках
4.1.1. Доказательство основной теоремы
§4.2. Оценки величины наилучшего приближения классами V2 и V6
Глава 5. Применения полученных результатов
§5.1. Теорема Ю. А. Брудного
§ 5.2. Неравенство Джексона-Стечкина
5.2.1. Краткая история вопроса
5.2.2. Промежуточное приближение
5.2.3. Приближение алгебраическими полиномами
§ 5.3. А-функционал Пеетре второго порядка
Список литературы

Так как в точках ф и £п функция к принимает значения 0 и го > О соответственно, то верно неравенство ф < хд < £п. Это значит, что в трех последовательных точках функция /1 принимает знаки 0, — и +. Применяя два раза теорему Лагранжа 0.5, мы получаем две точки Хц и Х12, в которых к' принимает соответственно отрицательное и положительное значения. Из теоремы Лагранжа следует, что £о < Х\ < а'о < £'12 < *п- Кроме того, из краевых условий следует, что кЬо) — 0 и к'(Ьп) = г < 0. Таким образом, мы получили четыре последовательные точки (а именно ф, а?ц, и £п), в которых /г' принимает знаки 0, —, +, —. Применив три раза теорему Лагранжа, мы получим точки с чередующимися знаками уже для /г", и так далее. В итоге для функции кп~1) мы найдём (с учётом краевых условий) набор из п + 2 точек со следующими знаками: 0, —, +,
к 0 на [ф,ф]. (1-1)
Докажем пункт 2) леммы, пункт 1) будет доказан ниже. Поскольку функция к принимает в точках ф и ф знаки 0 и +, то функция к', с учётом краевых условий, принимает в трёх последовательных точках знаки 0, . Точно также получаем для функции к" знаки 0, +, —, +,
и так далее. В итоге мы найдём п+1 точку, в которых ЛФ”1) принимает значения со знаками 0, , +(—). Отсюда, по лемме 1.2, будет
следовать наличие у к ровно п точек со знаками +, —,