Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях

• Автор: Амвросова, Ольга Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 125 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ стр1

Глава I Теорема равносходимости для дифференциальных

операторов

§ I Краевые условия со степенными особенностями

§ 2 Некоторые вспомогательные утверждения

§ 3 Асимптотика собственных значений

§ 4 Теорема равносходимости

' • '

Глава II Теорема равносходимости для операторов интегродифференцирования порядка сС,

§ 5 Формула резольвенты

§ 6 Асимптотика собственных значений
§ 7 Случай абсолютной непрерывности щ
§ 8 Теорема равносходимости
§ 9 Частный случаи
§ 10 Контрпример
ЛИТЕРАТУРА

Весьма широко применимой в различных областях современной математики, механики, физики является спектральная теория несамосопряженных операторов. Она включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций, разложения функций в ряд по собственным и присоединенным функциям, в частности, вопросы равносходимости таких разложений с разложениями по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории операторов велик, и успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.
Настоящая работа посвящена спектральному анализу операторов, которые объединяет одна общая черта: их краевые условия записываются при помощи интегралов, содержащих степенные особенности. Для таких операторов устанавливается асимптотика собственных значений, доказываются теоремы равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям этих операторов и по тригонометрической системе.
Вопросом о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора на отрезке [0? /] , порожденного дифференциальным выражением
одним из первых занимался Дж. Биркгоф [16, 17]. В предположении регулярности краевых условий (0.2) (см.[з]* с. 66-67) он решил вопросы о распределении собственных значений, асимптотике собст-
(0.1)
и линейно-независимыми краевыми условиями

венных функций, сходимости разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)-(0.2) функции ограниченной вариации. Основным средством решения этих вопросов была асимптотика системы решений уравнения О ДРИ /?/-? °о , полученная Биркгофом в [12]
В дальнейшем результат Биркгофа был усилен Я.Д.Тамаркиным, который показал в [б] , что при условии регулярности (0.2) и суммируемости функции ее разложение в ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)—(0.2) равносходится внутри отрезка [0,1] с тригонометрическим рядом Фурье этой функции. Аналогичный результат независимо от Тамаркина получил М.Стоун [б] . Теорема Тамаркина (Стоуна) обобщала теоремы равносходимости, доказанные ранее для краевых задач второго порядка Е.Гобсоном [18],
В.А.Стендовым [ю] и А.Хааром {20, 21].
Интерес к спектральной теории значительно возрос в последние годы. Относительно недавно В.А.Ильин [22-24] доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений в би-ортогональный ряд по собственным и присоединенным функциямнесамо-соцряженного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением £[у] , с краевыми условиями, обеспечивающими некоторое асимптотическое поведение собственных значений. Теоремы В.А.Ильина, сформулированные в терминах условий на коэффициенты 1[у] и функции биортогональной системы, охватывают ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий.
А.П.Хромов [14,15] распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функций Грина оператора (0.1)-(0.2) с регулярными краевыми условиями. А.П.Хромов показал, что такие операторы в определен-

справедливость этих теорем для оператора, определяемого дифференциальным выражением
• •• +Рп
где Д £1{-/} 4 9Ь^ и краевыми условиями (1.2). Для этого надо последовать схеме рассуждении главы I и воспользоваться теоремой I из книги [3], с. 58-59.