Алгебры Ли дифференциальных операторов : Представления и когомологии

• Автор: Шойхет, Борис Бамович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
I Некоторые вопросы теории представлений алгебры Ли д1(А)
1 Представления алгебр Ли д12п и д!. индуцированные с наибольшей
параболической подалгебры
2 Алгебра Ли д!(А): неприводимые представления и локальное тождество
3 Алгебра Ли функций на гиперболоиде: глобальное тождество
II Когомологии алгебр Ли дифференциальных операторов: формулы Подъема
4 Конструкция формул Подъема
5 Конструкция высших формул Подъема. Доказательства
6 Интегрирование формул Подъема и циклические гомологии алгебр Ли дифференциальных операторов
Введение
Диссертация состоит из двух Частей. Часть 1 посвящена теории представлений алгебры Ли 0І(А), являющейся алгеброй Ли скрученных дифференциальных операторов на СР*(А Є С). Основными результатами здесь является вычисление детерминанта формы Шаповалова для квазиконечных представлений алгебры Ли 0((А) и “глобальное тождество” — некоторое комбинаторное тождество геометрической природы, эквивалентное неприводимости некоторых представлений предельной алгебры Ли при А —» оо (это пуассонова алгебра Ли функций на симплектическом листе стандартного слоения на я!2(С}*).
Часть 2 посвящена явному описанию алгебры когомологий Яіе(дІ(ВіГ71); С) алгебры Ли финитных матриц над алгеброй полиномиальных дифференциальных операторов на С". В рТ1] было доказано, что эта алгебра есть внешняя алгебра с образующими в размерностях 2п + 1, 2п + 3, 2п 4- 5, ... Здесь построены явно коциклы Ф2„+ь Фгп+з, Фгп+5, (Ф. Є САоРІЇп);С)) такие что
Я£іе(0(Оі);С) = Л*(Ф2п+1, Ф2п+3, Ф2п+5,
Эти коциклы, называемые формулами подъема строятся в более общем алгебраическом контексте. При этом для доказательства того, что Ф2іг+і, Фяп+з, }&2п+5, являются образующими в когомологиях, используется интегрирование в когомологиях алгебр Ли ([СР]), примененное к алгебре Ли скрученных дифференциальных операторов на СРп.

Алгебра Ли 0І(А) — это бесконечномерная алгебра Ли, зависящая от параметра А Є С, которая является непрерывной версией алгебры Ли. Она была введена Б.Л.Фейгиным в [П] для вычисления алгебры когомологий алгебры Ли полиномиальных дифференциальных на прямой С1 и имеет несколько эквивалентных определений. Мы опишем ниже три из них.
Во-первых, это алгебра Ли, построенная по ассоциативной алгебре скрученных дифференциальных операторов (см. [ВВ2]) на СР1. Дифференциальным оператором порядка < к в линейном расслоении С называется глобальный объект, который локально дейтвует на голоморфных сечениях этого расслоения, и при этом

[. [[£>, /l], /2] ... /*+1] = 0 для любых к + 1 голоморфных функций (эти функции рассматриваются как операторы fa : Г(£) —> Г(£) нулевого порядка). Любое линейное расслоение на СР1 — это 0(п) для некоторого п £ N, и мы получаем зависящую от п G N ассоциативную алгебру скрученных дифференциальных операторов (при п = О — это обычные дифференциальные операторы). На самом деле такая алгебра скрученных дифференциальных операторов существует при любом п = А ё С (несмотря на то, что соответствующего линейного расслоения не существует при нецелом А).
Напомним кратко конструкцию этой алгебры (см. [ВВ1], [ВВ2] для деталей). Обозначим Ро(1) пучок дифференциальных операторов (обычных) на тотальном пространстве расслоения 0(1) на СР1, и пусть Е — (послойное) эйлерово векторное поле в этом расслоении. Обозначим De подпучок в Po(i)i состоящий из операторов, коммутирующих с Е, тогда {VE — AVV £ De} — двусторонний идеал в De, и обозначим Difx — (ассоциативную) факторалгебру De по этому идеалу. Тогда при А ё N Dif совпадает с алгеброй дифференциальных операторов в расслоении О (А). Можно дать следующее эвристическое объяснение этому факту. Dif — это дифференциальные операторы, которые должны действовать на сечениях «степени однородности А» (А ё С), по двум голоморфным сечениям 7i и 72 расслоения 0(1) МОЖНО построить две функции 71 и 72, линейные вдоль слоев, на них Е действует с собственным значением 1. Мы должны выделить из пучка 71 Oq +72 ©©(l) все сечения степени однородности А, И Difx — это то, что действует на этих сечениях. Подалгебра De состоит из дифференциальных операторов, сохраняющих собственное разложение оператора Е, а факторизация по идеалу {VE — WV £ De} — это выделение компоненты, соответствующей собственному значению А.
С этой точки зрения f)l(A) = Lie (Dif).
Имеется отображение р : U(sl2) —> Dif(CPl) при всех А £ С (см. [ВВ1], [ВВ2]).
Чтобы его построить, представим 0(1) как SL2(C) х С, где С — соответствующее

1-мерное представление борелевской подгруппы В С SL2(C). Тогда SL2(С) действует на тотальном пространстве расслоения 0(1), и алгебра Ли «[2(C) отображается в векторные поля на 0(1). Это гомоморфизм алгебр Ли, и поэтому определено отображение р : U(sl2) Dif. Теорема Бейлинсона - Бернштейна [ВВ1] в этом простейшем случае утверждает, что р сюръективно, и что ядро р — это двусторонний идеал в [/(яЬ), порожденный А — гДе А — е-/ + /-е + € U(sl2)
— элемент Казимира [|. На я[2-модуле Верма со старшим весом А Д действует ска-лярно умножением на Таким образом, gl(A)
Само название алгебры Ли gl(A) подразумевает связь с алгеброй Ли 0l„. Дадим теперь последнее ее определение, из которого ясно, в частности, в каком смысле gi(A) является алгеброй Ли матриц комплексного размера.
Рассмотрим n-мерный неприводимый яЬ-модуль V, тогда имеется еюръекция

Пусть к 6 N>0. Сингулярные вектора в /п<4 суть Х>[’+1 у,Т>2+2 г>
Л+(о#)

I ы±и
к 1.

остальные Л| (а/) = 0.
0(1» © 0(2'* — старшие вектора ш, лежащие в /пй® 1пЛ+1 суть
ЦГ1+ = {ъ'{1%2
Тогда
з>гч
хоо(л+) — у;
-(к+1)12+к1+4к2+
(хИГ
(21)
(22)