Применение нормированной матрицы Якоби в теории пространственных отображений

• Автор: Егоров, Владислав Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
1 МАТРИЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТОБРАЖЕНИЙ
1.1 Основные определения, обозначения, сведения
1.2 Некоторые системы дифференциальных уравнений, связанные с нормированной матрицей Якоби
2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО НОРМИРОВАННОЙ МАТРИЦЕ ЯКОБИ (ГЛАДКИЙ СЛУЧАЙ)
2.1 Необходимые условия восстановления отображения. Некоторые следствия
2.2 Достаточные условия восстановления отображения
3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО НОРМИРОВАННОЙ МАТРИЦЕ ЯКОБИ (СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ)
3.1 Вспомогательные определения, утверждения, оценки
3.2 Достаточные условия восстановления отображения
3.3 Необходимые условия восстановления отображения
Заключение
Литература

Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию систем дифференциальных уравнений специального вида, возникающих в теории отображений с ограниченным искажением.
Теория квазиконформных отображений, основы которой были заложены в работах Г. Греча [47] и М.А. Лаврентьева [24] в конце 20-х - начале 30-х годов XX века, в настоящее время представляют собой активно развивающийся раздел математического анализа и ее результаты находят многочисленные приложения в различных областях теоретической и прикладной математики. Примерами здесь служат задачи устойчивости [5] в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении, задачи плоского дозвукового установившегося движения идеального газа [25] и др.
В 1938 г. для построения математических моделей ряда явлений гидродинамики и газовой динамики М.А. Лаврентьевым была начата разработка теории пространственных квазиконформных отображений. Наиболее важные результаты в этой теории были получены в работах Л. Альфорса, П.П. Белинского, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, В.А. Зорича, Ю.Г. Решетняка и других математиков (перечислим лишь некоторые их работы [1], [2], [51], [45], [46], [20], [32]).
Развитие теории пространственных квазиконформных отображений привело к созданию в середине 1960-х годов в работах Ю.Г. Решетняка теории пространственных отображений с ограниченным иска-

жением. Значительный вклад в эти исследования внесли С.К. Водопьянов, М. Вуоринен, В.М. Гольдштейн, Т. Иванец, А. П. Копылов, C.JI. Крушкаль, Т.Г. Латфуллин, О. Мартио, В.М. Миклюков, С. Рикман, A.B. Сычев и многие другие (см., например, [6], [52], [7], [22], [23], [28], [30], [41]).
Ряд методов исследования в этой области связан с использованием аппарата дифференциальных уравнений. В частности, квазиконформные отображения на плоскости можно рассматривать как го-меоморфные решения дифференциального (комплексного) уравнения Бельтрами [5] с заданной функцией ц(г)
т = (!)
Пространственным аналогом этого уравнения (дающим уравнение Бельтрами при п=2) занимались, в частности, Г. Вейль, И.А. Схо-утен, рассматривая следующую нелинейную переопределенную систему дифференциальных уравнений с частными производными (см. [53], [40])
f'T(x) f'{x) = I det f'(x)2/n G(x) (2)
Здесь /: _D-»Mn (D — область в Mn, f'(x) — матрица Якоби отображения f(x), T — транспонирование, G(x) — матрица размерности пхп, заданная в D).
Однако, в пространственном случае системы указанного типа имеют сложный характер интегрирования, а теоремы существования их решений доказаны лишь для достаточно узкого (с точки зрения теории квазиконформных отображений) класса функций. В связи с этим возникает задача изучения нелинейной переопределенной системы дифференциальных уравнений
f{x) = |det/'(z)|1/nM(z) (3)
где М(х) — матрица размерности пхп, заданная в области DcW1.

Сравнивая последнюю формулу с (2.17), приходим к выводу, что
А) = а7- = 1,] = 1
При этом, ранее было принято считать выполненными равенства А3- — Л7-, то есть в том числе и при г = у. И потому А) = Aj,
г,У = 1 Эти равенства означают, что А1 = ... = Ап = Л(М) и,
следовательно, согласно (2.11),
= М1 А А(М), г = 1
Таким образом, из условий (2.5) вытекают соотношения (2.6). Следствие доказано.
Следствие 2.1.3. Пусть И — область в Мп (п>3) и М(х)еС2(В) — матрица размерности пхп, беЬМ(х)фО, х€В. Тогда, если выполняются соотношения
сШ* = МГ ЛЛ(М) (г = 1
то имеет место замкнутость формы А(М), то есть
с1А{М) = 0. (2.19)
Доказательство. Заметим, что требование <1еЬМ(х)ф0 приведено здесь из-за неопределенности формы Л(М(ж)) в противном случае. Предварительно установим равенства
(1(М1А УУ. АМп) = -{п- 2)А(М) А (.М1А УУ. ЛМП). (2.20)
Будем считать, что i < j. Определим формы со1, полагая со1 = М1 при I — 1
М:Л УХ лмп = о;1 Л ... А сап
и, в силу (2.2), <1со1 = со1 А Л(М), I = 1,
.. п—2 (
УХ ЛМП) = (-1)/-1 Ао/л .У. Аса”-2 = г