Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля

• Автор: Бондаренко, Наталья Павловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление

Введение
Глава 1. Восстановление матричного оператора Штурма-Лиувилля по спектральным данным
1.1. Спектральные данные. Постановка обратной задачи
1.2. Свойства спектральных данных
1.3. Основное уравнение обратной задачи
1.4. Решение обратной задачи
Глава 2. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи
2.1. Основная теорема. Необходимость
2.2. Однозначная разрешимость основного уравнения
2.3. Вспомогательные утверждения
2.4. Доказательство достаточности
Глава 3. Устойчивость решения обратной задачи
3.1. Устойчивость восстановления потенциала в 1/2-норме. Локальная разрешимость обратной задачи
3.2. Устойчивость восстановления потенциала в равномерной норме
Литература
Введение

В данной работе изучается обратная задача спектрального анализа для матричного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль в математике и имеют приложения в различных областях естествознания и техники, в частности, в квантовой механике, геофизике, электронике, метеорологии. Обратные спектральные задачи также играют существенную роль при интегрировании эволюционных уравнений математической физики. В 1967 г. Г. Гарднер, Ж. Грин, М. Краскал и Р. Миура [77] обнаружили глубокую связь между нелинейным уравнением Кортевега-де Фриза и спектральной теорией операторов Штурма-Лиувилля. Созданный ими метод обратной задачи породил новое направление в математической физике и вызвал очередной всплеск интереса к обратным задачам спектрального анализа. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается в связи с возникновением новых приложений. Однако стоит отметить, что обратные задачи являются достаточно трудными для изучения, что связано прежде всего с их нелинейностью, и в теории обратных задач до сих пор остается много нерешенных вопросов.
Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов внесли В.А. Амбарцумян, Р. Билс, Г. Борг, М.Г. Гасымов, М.Г. Крейн, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, Л.А. Сахнович, А.Н. Тихонов, Л.Д. Фаддеев, И.Г. Хачатрян, В.А. Юрко и другие математики [3, 4, 14, 15, 17-22, 24, 25, 32-35, 43, 47, 49, 54, 74, 80, 81, 84|.
Первый результат в теории обратных спектральных задач был получен В.А. Амбарцумяном [47] для уравнения Штурма-Лиувилля
-у" + д(х)у = Ху. (0.1)

Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (0.1) с условиями у'(0) = у'(7г) = 0 имеет собственные значения А„ = п2, п ^ 0, то д = 0. Однако в общем случае одного спектра недостаточно для восстановления потенциала д. Впоследствии Г. Борг [54] доказал, что потенциал д однозначно восстанавливается по двум спектрам операторов Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями. Позднее результат Борга также был получен
Н. Левинсоном [74] при помощи другого метода.
Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, который исследовал задачу восстановления дифференциального оператора по спектральной функции [24, 25]. В случае оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей классической постановке [19, §2.10], [43, §1.2]. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) на интервале (0,7г) с условиями
Пусть (р(х, Л) — решение уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям Обратная задача состоит в восстановлении потенциала д и коэффициентов краевых условий /г и Н по спектральных данным {А„, агг}п^о-
При решении этой обратной задачи важную роль сыграл метод оператора преобразования [24, 25], которым была доказана однозначная разрешимость обратной задачи, а также получена конструктивная процедура решения и необходимые и достаточные условия на спектральные данные [15]. Были также решены обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на полуоси и оси [24, 25, 33, 34].
у'(0) - /12/(0) = 0, у'(тг) + Я2/(тг) = 0.
(0.2)
(0.3)

Спектральные данные имеют вид 2
А па = П2 + -ÜJq, anq = rs^q < rs+l, S — 1 ,р, п ^ О,
7Г 7Г

1, rs^j = k^ rs+1 - 1,
r(s) _ fr(s)] _____________ r(s) — <
i — і jk Jj',fc=l,mi 1jk —
О, иначе.
В случае если среди сод есть одинаковые, им будут соответствовать группы кратных собственных значений Xnrs = A„rs+i = ... = АпГа+1_х, s — 1, р. Согласно введенным обозначениям а'пГе = 1^ ct'nrs+i = ... = ос'пг = 0т и О'п1 = /W. В данном случае сумма содержит одно ненулевое слагаемое. В общем случае их может быть больше, потому что собственные значения могут содержать одно и то же значение ujq в асимптотике (1.36), но не быть кратными.
Теорема 1.6. Пусть L € Л (со), и> € Т>. Тогда справедливо соотношение о -А5)
а$ = —№ + —^-, {||>4^||}п>о е ^2, s — 1,р. (1.39)
Доказательство. 1) Пусть L — задача из примера 1.1.
Введем контуры 7^ = {А: |А — (n2 + §u/s))| = R}, П = h min шч —

иц|. Учитывая формулу (1.36), по основной теореме о вычетах [28, с. 238] получаем:
rs+l-l П>+
I (М(\ - M(Wd =
2 7гг
р rs+і-l Г.+
— (M{)-M{))d= E < =
" n—r n—nr
w ?=rs

= — —fon ^ n*, s = l,p.

Используя представление (1.9), находим:
Mjk()-мда) = Л(Л)Д,'1))л)дщ(Л)Л(Л)’ = (1-40)