Бесконечномерная симплектическая группа и редуцированная динамика

• Автор: Тверитинов, Иван Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с. : ил.

1 Построение проективного представления симплектической группы и построение метаплектической группы при

помощи унитарных преобразований Боголюбова

1.1 Некоторые определения

1.2 Представления ККС в различных пространствах

1.3 Преобразования Боголюбова. Унитарные преобразования

Боголюбова

1.4 Построение проективного представления симплектической

группы конечномерного пространства

1.5 Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства

1.6 О различных проективных представлениях симплектической группы

1.7 Построение метаплектической группы

1.8 Связь с картиной Баргмана-Фока
2 Квадратичные гамильтонианы
2.1 Квантования Винера-Сигала-Фока и Шредингера квадратичной функции Гамильтона
2.2 О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой
2.3 Свойства спектра квадратичных гамильтонианов
2.4 Решения уравнений Шредингера с квадратичными гамильтонианами и условия самосопряженности последних

2.5 Явные решения уравнений Шредингера для одного класса
квадратичных гамильтонианов
3 Асимптотические свойства редуцированной динамики открытых квантовых систем
3.1 Понятие открытой квантовой системы и её динамика
3.2 Асимптотическая декогерентность
3.3 Примеры асимптотической декогерентности
3.4 Системы с гамильтонианом, обладающим точечным спектром

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются несколько задач, связанных с исследованием (редуцированной) динамики открытых квантовых систем. Именно, в ней строятся представления бесконечномерных симплектической и метаплектиче-ской групп, исследуются условия самосопряженности дифференциальных операторов, возникающих при квантовании бесконечномерных гамильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона и исследуется асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего эволюцию открытых квантовых систем.
Проективное представление симплектической группы строится при помощи унитарных преобразований Боголюбова, являющихся сплетающими операторами для пары автоморфизмов алгебры Гейзенберга, причем один из этих автоморфизмов получается из другого при помощи симплектического преобразования. Унитарные преобразования Боголюбова преобразуют решения полученных при квантовании квадратичной функции Гамильтона уравнений Шредингера при симплектической замене переменных. В диссертации получены явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока и установлена их связь с аналогичными преобразованиями в пространстве Баргмана-Фока, которые рассмотрены в работах Ф.А.Березина. Таким образом, преобразования Боголюбова могут использоваться как для упрощения уравнений Шредингера с одной стороны, так и для построения проективных представлений — с другой. Помимо проективного представления симплектической группы в диссертации изучаются унитарные представления её накрытий (в частности, метаплектической группы), которые индуцируют проективное представление. Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл, и с его помощью пощими в пространстве Винера-Сигала-Фока. Так как всякие представления ККС, обладающие вакуумным вектором, унитарно эквивалентны, то из предыдущей теоремы следует, что существует единственный унитарный оператор, обозначаемый через Ту_вр, действующий из пространства Винера^Сигала-Фока в пространство Баргмана-Фока и переводящий вакуумный вектор в вакуумный, такой, что при некотором выборе операторов Уд, А¥ф,ф (которые определены с точностью до комплексного множителя, равного по модулю единице), верно равенство: Ту^вг ' • Ту-щр = Уд. Используя некоторые свойства операторов Уд, Уф,ф, можно описать действия оператора Ту_р,не выписывая соответствующей явной формулы. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.16. Пусть {еп},п Є N — ортопормироваппый базис, пространства (^. Обозначим через Нп(х),п Є 1Чи{0} последовательность нормированных полиномов Эрмита (рассматриваемых как элементы пространства Бг(К., Дт) — пространство измеримых квадратично интегрируемых функций по гауссовской мере с половинным, корреляциоп-* ным оператором), с положительным старшим коэффициентом (гп.е
Нп(х) = Через 8п(г),п Є N11 {0} нормированный полином,
2;п (полином рассматривается как элемент пространства Бг(С,/іі) — пространства аналитических функций, квадрат модуля которых интегрируем по гауссовской мере с половинным корреляционном, оператором), с положительным старшим коэффициентом (т. Є- 5п('і) -
Тогда, множества {П Нп,(< етрх >я)|щ Є N и {0},т, Є N,1 ф =7 1

т; ф тД, Щ{^(< г>ет >сЖ Є N и {0},ті гщ ф

Ш]}, образуют ортонормированные базисы в пространствах цТ), Ь2(Н,ді) соответственно и оператор Ту_вр переводит базисный вектор пространства Бг(0,/чі) в базисный вектор с теми же индексами в пространстве Б2(Н,ді).
Доказательство. Отображение Ту_вк : Дг(0>Мі) —1* Ьг(Н,ді), определяемое равенством
Ту_ВР : а^(гі) а^(гп)(1) ^ %>Ы) аь(гп)(1),