Предельный переход под знаком интеграла и диагональные свойства мер

• Автор: Клепнев, Дмитрий Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 129 с.

Содержание
Введение
1 Диагональные свойства последовательностей мер
1.1 Диагональные последовательности мер
1.2 Диагонально непрерывные последовательности мер
1.3 Равностепенная абсолютная непрерывность двух последовательностей мер
2 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для переменных мер
2.1 Теорема Витали-Арешкина
2.2 Сходимость относительно последовательности мер
2.3 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для диагональных и диагонально непрерывных последовательностей

3 Равномерная непрерывность семейств регулярных мер
3.1 Примеры и вспомогательные утверждения
3.2 Достаточное условие равномерной непрерывности
Список литературы

Введение

Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла — один из важнейших в анализе. Известны три классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, принадлежащие А. Лебегу, Б. Леви и П. Фату. Также известна теорема Дж. Витали, дающая необходимые и достаточные условия возможности предельного перехода иод знаком интеграла Лебега. Теорема Витали обычно формулируется в терминах равномерной интегрируемости последовательности подынтегральных функций [16], но может быть переформулирована следующим образом.
Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегра-лов и Д- сДД. равностепенно абсолютно непрерывна относительно неотрицательной счётно-аддитивной меры д, если для любого г > 0 существует 6 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия /іЕ < 5 следует | §Е Д с1ц < є.
Теорема. (Витали) Пусть X — а-алгебра с единицей X, д — конечная неотрицательная счётно-аддитивная мера, на Т {ДД — последовтельность ц-интегрируемых функций, сходящаяся к функции / по мере д. Для того, чтобы функция / была /і-и итегрируемой и последовательность {ДД сходилась к / в пространстве Ь{Х, X, д), необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {/ Д <ДД была равносте-

пенно абсолютно непрерывной относительно меры /1.
В теореме Витали, как и в классических теоремах Лебега, Б. Леви и Фату, переменной была функция точки, интегрирующая мера оставалась постоянной. Случай предельного перехода под знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. М. Дубровский [21], Г. Я. Арешкии [11],
[13], [14], Ф. Кафьеро [39], В. Н. Алексюк [4], [14], В. М. Климкин [13],
[14], [ЗО], X. Ройден [50], Р. Серфозо [51]. В работах Арешкина, Алексюка и Климкина (Арешкин доказал достаточность [11], Алексюк — необходимость [4], в совместной работе [13] Арешкин и Климкин доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер) была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.
Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов { [ Д. (І/і/с}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности неотрицательных счётно-аддитивных мер {/ц-Д, если для любого є > 0 существует 6 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия /д.-Е < 5 следует | Д фр,| < £
Теорема. (Арешкин-Алексюк-Климкин) Пусть Е — сг-алгебра с единицей X, {/ЦьД. ~ последовательность конечных неотрицательных счётноаддитивных мер на Е, причём для всякого множества Е Є Е последовательность {р(Е)}А. сходится к конечному пределу /і(Е). Пусть {ДД -последовательность конечных функций, определённых на X, причём для любого натурального к функция Д является р-интегрируемой, и для всякого х Є X последовательность {Д(ж)Д сходится к конечному пределу
limsup |<рРі(іД)| > ei-
k—> OO
Пусть n — некоторое натуральное число и пусть уже построены натуральные числа ih < р-2 < < Рт числа є і > 0, > 0
и последовательности множеств {Ef.} к с 77, {/Д Д С 7Z
lim s(<рк){Е{) = 0;
к—>оо
limsup {pp.(El') > Єу
к—>oo
Беря в (1.17) и (1.18) т = р„ +1, получим: существуют последовательность множеств {7Д+1Д С 77, натуральное рп+ > рп и zn+ > 0 такие, что
lim s(<рк){Е%+1) = 0;
Я—»OO
limsup<рРпЛЛЦ+1)І >ffn+i-
к—>оо
Таким образом получим построенные по индукции строго возрастающую последовательность натуральных чисел {р/ьД, семейство множеств {Е3кДА. С 77. и последовательность чисел {еД С (0,+оо) такие, что для всякого натурального j выполняется
lim s{ркШ) = 0; (1.19)

limsup £j. (1.20)
к—>oo
Рассмотрим последовательность натуральных чисел
кД = (1, Д2,1,2,3,1,2,3,4
обладающую, очевидно, следующим свойством: всякое натуральное т встречается в последовательности Да-Д бесконечно много раз.