Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращения

• Автор: Касаткина, Татьяна Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 102 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Функционал Милина

§ 1. Уравнения Левнера

§ 2. Связь между логарифмическими коэффициентами

голоморфной функции

§ 3. Функционал Милина

Глава 2. Оценка коэффициентов на классе М)

§ 4. Лемма типа Лебедева-Милина

§ 5. Система управляемых дифференциальных уравнений для
логарифмических коэффициентов функции Ф(г, 1)
§ 6. Экспоненциальные многочлены Бранжа
§ 7. Функция В„({) и ее монотонное убывание
Глава 3. Об одной системе линейных
дифференциальных уравнений
§ 8. Частные случаи решения линейной системы
§ 9. Общий случай решения линейной системы
Литература

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
€ - комплексная плоскость;
5-класс голоморфных однолистных в единичном круге функций Лz)=z + C2(f)z2+ ... + С„(/)г" + ...;
С„(/) - /7-й тейлоровский коэффициент в разложении функции Дг) в окрестности нуля;
а„(/), у„(/) - /7-е логарифмические коэффициенты в разложении функции Дг) в окрестности нуля;
Бр подкласс класса 5 тех функций, которые отображают {г:|г|<1} на р-симметричные относительно и/0 = 0 области;
БР(М) - множество ограниченных функций класса Бр, Дг) <М, М> 1;
Д(б> Щ - класс голоморфных функций со структурной формулой;
Б' - подкласс класса Б тех функций, которые отображают единичный круг на плоскость С{0} с разрезом по обобщенно непрерывной простой жорда-новой кривой, идущей в бесконечность;

Др(г) = (| _ е'Ф - функция Кёбе;
1 П^} П - к 9 | |
Мп{/) = ~ X ^ (1 — А:21 Уа-(/) I )- функционал Милина; к=
А,,(/) = М„+]{/) - М,.,(/) - отклонение функционала Милина;
а, Ь; г

“ (я)у (Ь)у
= X! ТА Д_ гиперболическая функция Гаусса и гипергео-7-0 (
метрический ряд;
<Э|/ дщ ц(т)+г „ц(т) + С п
ат ' ■2 И(т) ■- г ’ А — Д(1) _ С - уравнения Левнера.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Функции, которые в различных точках области принимают различные значения, называют однолистными. Первые задачи и методы их решения, которые дали начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного, появились уже в первом десятилетии XX века. П. Кёбе в 1907 году доказал теорему о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е = {z : z < 1} при отображении голоморфными однолистными в Е функциями
f{z) = z + C2(f)z2+ ... + Cn(J)zn+
Совокупность таких функций образует класс S.
Эта теорема послужила стимулом для исследования многочисленных экстремальных задач геометрической теории функций.
Отсутствие в множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создание новых оригинальных методов исследования экстремальных задач. Метод площадей H.A. Лебедева [29], вариационные методы М.А. Лаврентьева [28], М. Шиффера [50], Г.М. Голузина [15], метод симметризации И.П. Митюка [33], В.Н. Дубинина [21] и т.д. позволили качественно изменить содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций. В 1923 году Левнер [49], используя теорему Каратео-дори о сходимости семейства плоских областей к ядру, вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса S. Это уравнение легло в основу одного из основных методов исследования в геометрической теории функций - метода параметрических представлений Левнера. Представление конформного отображения одной области на любую, конформно ей изоморфную, через решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка открыло пути для новых

Тогда
пи/т < (те - 1) Л,_! + X к I ,

'кт — 'кп

от те(те-1)

те те(те - 1)

Л=1 те-1 л
X к г
/с=1 У_

/ и,_1 л

те (те - 1)

те-1 - X к1 к=

те(те- 1) ^ (

Получаем, что

«г (/л - 1)
X (1- к1)

, те е N {1}.
(1.7)
Для оценки выражения, стоящего в квадратных скобках неравенства (1.7), воспользуемся известным неравенством 1 +х < ех, верным для любого
—00 < X < +00.
Получим

— •}т- ехР | щ{т — 1) ^ ^ ^ | '
(1.7а)
Преобразуем выражение, стоящее в фигурной скобке, следующим образом.