О некоторых аппроксимационных методах в теории операторных включений

• Автор: Хишам Рахман Мухамад Ал-Хашеми
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 86 с.

Глава I. Однозначные сечения и аппроксимации многозначных отображений

§1 Некоторые сведения о многозначных отображениях

1.1. Полунепрерывные снизу многозначные отображения

1.2. Однозначные непрерывные сечения многозначных отображений

1.3. Полунепрерывные сверху многозначные отображения

1.4. Алгебраические операции над многозначными отображениями

1.5. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений

§2 Аппроксимационные семейства и системы Майкла

2.1. Аппроксимационные семейства

2.2. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений с

образами в аппроксимационном семействе

2.3. Системы Майкла
2.4. Сильные системы Майкла
Глава 2. Теорема биекции для многозначных отображений с образами из АМН-системы
§1 Допустимые многозначные отображения
1.1. Собственные многозначные отображения
1.2. Допустимые многозначные векторные поля
§2. Теорема биекции
§3. О топологических инвариантах многозначных векторных полей
§4. О вращении многозначных векторных полей с образами в АМН-системе
Глава 3. О некоторых аппроксимативных методах в теории операторных включений

§1 Об одной теореме о неподвижной точке

§2 Об одном классе операторных включений
2.1. О некоторых свойствах замкнутых сюръективных операторов
Разрешимость одного класса операторных включений
§3 Об одном классе интегро-дифференциальных включений
3.1. Многозначные оператор суперпозиции и интегральный оператор
3.2. Теорема существования для одного класса интегро-дифференциальных
включений
Список литературы

Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась к середине 20-го века и к настоящему времени нашла многочисленные приложения в теории игр и математической экономике, теории управляемых систем, в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в выпуклом и негладком анализе и теории экстремальных задач, в теории обобщенных динамических систем и многих других разделах современной математики.
Одной из важных проблем теории многозначных отображений (мультиотображений) является вопрос о существовании однозначного непрерывного сечения или однозначной непрерывной аппроксимации. Одним из первых результатов о сечениях, нашедших многочисленные приложения в математике, была классическая теорема Э. Майкла [46]. В ней доказывается существование непрерывного сечения у полунепрерывного снизу многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами, лежащими в банаховом пространстве. Вопрос о существовании непрерывных сечений у полунепрерывных снизу мультиотображений (ГДС-теория), помимо Майкла, изучался Б.Д. Гельманом [14], Д. Реповшем и П.В. Семеновым [42], Л.Рыбинским [48], Л. Гурневичем и его учениками [39], и многими другими авторами. Подробная библиография по этому вопросу содержится в недавних монографиях Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и Ю.Г.Борисовича, Б.Д.Гельмана, А.Д.Мышкиса и В.В.Обуховского [11].
В тех случаях, когда мультиотображение не обладает непрерывным сечением, весьма эффективным орудием является метод непрерывных однозначных аппроксимаций, т.е. отображений, график которых лежит в произвольно малой окрестности графика мультотображения. Восходящий к пионерским работам Дж. фон Неймана и С.Какутани, этот метод для полунепрерывных сверху мультиотображений (ЦБС-тсория) развивался в работах А.Д. Мышкиса [26], А.Челлины [41], Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха [12], Б.Д. Гельмана [14], В.В.Обуховского [7], А. Гранаса [40], Л. Гурневича [39], В. Крышевского [45], Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и многих других исследователей. Подробная библиография по этому вопросу содержится в [8],[10], [11].
Возникает вопрос о связи между этими проблемами (между ГДС-теорией и иБС-теорией). В этом направлении некоторые результаты получены в работах Е.В. ГЦепи-на и Н.Б. Бродского, Д. Реповша и П.В. Семенова и некоторых других. В настоящей

В силу теоремы 1.2.7, существует полунепрерывное снизу многозначное отображение : X х [0,1] —► 'Р(Е) удовлетворяющее следующим условиям:
1) К(х, Ь) С ^(ж, Р) для любых х Е X и £ Е [0,1];
2) график ГХх[од](^0) с иео(ГХх[о,1](К)).
3) Г£о(Х х [0,1]) С (К(Х х [0,1])).
На множестве А — {X х 0) и (X х 1) у многозначного отображения Ре0 существует непрерывное сечение / : А —» Е, где /(ж, г) = /фж). В силу определения АМН-системы, сечение / может быть продолжено на все множество X х [0,1]. Обозначим это продолжение также /.
Рассмотрим отображение Ф£о(ж, Р) = ж (ж) -Гео (ж, £). Очевидно, что график Гхх[од](Фе0) с С4о(гЛ'х[о,1](Ф)- Следовательно, Ф£о(ж,г)П(А х В) = 0 для любых х Е А, Ь £ [0,1].
Рассмотри гомотопию ф(хА) = 'у(ж) — /(ж, £) € Фго(ж, £), которая соединяет поля (ро и р в По((Х, А); (Е, ЕВ)), что и доказывает теорему.
§3 О топологических инвариантах многозначных векторных полей.
Теорема биекции играет основопологаюгцую роль в построении топологических инвариантов для допустимых многозначных векторных полей. Рассмотрим абстрактную схему этого построения.
Пусть задано некоторое отображение
7:Ро ((Х,АУ,(Е,ЕВ))^С,
где С - некоторое множество.
Будем называть отображение 7 топологическим инвариантом, если из того, что ро, Ч> £ Е>о((Х, А); (Е, Е В)) и ро ~ Р, вытекает, что