Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкости

• Автор: Дьяченко, Дмитрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

СОДЕРЖАНИЕ
1.Введение
2. Двусторонние оценки сумм коэффициентов Фурье в одномерном случае
2.1 Оценки сумм модулей коэффициентов Фурье в р-ой степени функций класса Нш
2.2 Оценки норм в пространстве А последовательности коэффициентов Фурье функций класса Нш
3. Двусторонние оценки сумм коэффициентов Фурье в многомерном случае
3.1 Оценки для смешанного модуля непрерывности
3.2 Оценки для частных модулей гладкости

1.Введение
Работа посвящена оценкам сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций из классов Нш как в одномерном, так и в многомерном случаях.
Приведем необходимые в дальнейшем определения, а затем сформулируем основные результаты работы.
Начнем с расмотрения функций одного переменного. Через Ь[0,2я] обозначим пространство 2п- периодических измеримых функций /(х) с конечной нормой
ее ряд Фурье. В дальнейшем, будем полагать а0 = 0, так как это не уменьшит общности дальнейших рассмотрений. Обозначим через
— сумму модулей коэффициентов Фурье этой функции в степени р. Пространством А будем называть множество функций /(ж) Є £[0, 27г] с введенной выше конечной нормой 11/11 Лі-
Пусть ш(ё)- заданный модуль непрерывности, то есть ш(5)
- некоторая непрерывная, полуадцитивная, неубывающая на [0,1] функция такая, что ш(0) =0.

||/1к[0,2ж] = / |/(ж)|сЬ.

Если /(т) Є Ь[0, 2я] , то будем обозначать через

Н/1к=£К1р + 1*

Через С[0,2тт] обозначим пространство 2л- периодических непрерывных функций /(ж) с конечной нормой
ИЯ1с[0,2*1=о§1/(*)1-
Через ш(/, 5) обозначим модуль непрерывности в С[0,2л] функции /(ж) £ С[0, 2л], т.е.
ш(/, (5) = вир ||/(ж + г) - /(®)||с[0,21г]-
|(|<5
Через Нш обозначим множество функций /(ж) £ С[0,2л] таких, что ш(/, 6) < ш(6), т.е.
Нш — {/ € С[0,2л] : и>(/,5) < ш(Ф)},
где о>(<5)- заданный модуль непрерывности.
Если ш(6) — Мёа, где данные числа а и М таковы, что М > 0 и а £ (0,1], то такой класс функций Нш обозначается как 1лрм а.
Через Ь2[0,2л] обозначим пространство 2л- периодических измеримых функций /(ж) с конечной нормой
/ 2тг
\Пщом = ]и(х))2с1х

Через ш(д, /) - обозначим модуль непрерывности в Ь2[0,2л] функции / £ Ь2[0, 2л], т.е.
(2)(Ф: /)
|Л|<*

/ |/(х 4- Ь) - /(ж)|2сгж,
а через Е/) - наилучшее приближение в £2[0,2 л] функции / £ 1/[0,2л] тригонометрическими полиномами порядка га —1,
верно для размерности I = т — 1, тогда
ОГ> пп Р
Е Е
Т1—1 пгп—1 Т11...71т к~П1 ктП
00 со/1 ОО СХ5 1 оо
= Е
721=1 72т=1 П2"'1("ГП /:2=П2 кщ—Пщ 1 /1
ОО ОО / 1 ОО
ЧЧр))™“1 Е ЕРЕ ики1)2 Ч
721=1 Птп—1 '1 /С1=П1
ОО оооо/1оо Р
= (К(Р)Г~1 Е ЕЕ - Е ь„2
"2=1 Пт = 1П1 = 1 П1 /С!

> (*(р)Г Е
П! = 1 Пт
что и требовалось доказать.
Доказательство следующей леммы является модифицированным доказательством теоремы Н.И.Черныха (см. [4], стр. 237, теорема 9.З.1.).
Лемма 3.2 Если ш(/; (5ц
Ь2{Тт){си. [8]), то

111 Пт/Ь2(Тт)
Доказательство: Имеем
Г) 00 ОО
(£» »»(Лиз-)) = (М” Е Е Ы2.
к—П кт—Пуп