Интерполяция функций конечного порядка в полуплоскости

• Автор: Малютин, Константин Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1996
• Место защиты: Сумы
• Количество страниц: 217 с.

Классическая задача интерполяции состоит в отыскании функции данного класса, принимающей в заданных точках -узлах интерполяции - заданные значения. В общей постановке задача интерполяции состоит в следующем.
На линейном пространстве С1 задана последователь -ность линейных функционалов £ | . Для данной последовательности чиселтребуется найти такой элемент^€ 0.

/ который удовлетворяет условиям ,

~ ^ к » К-€ N.. • С1)

При решении общей задачи интерполяции (1) в линейном топологическом пространстве (3, обычно используется следующая процедура: строится система элементов }°С>> би0Рт0 ~ тональная к системе функционалов и состовляется

интерполяционный ряд

£ • к

Если этот ряд сходится, то его сумма даёт решение задачи

(1) . В дальнейшем мы будем излагать результаты исследова -ний интерполяционных задач в классах, состоящих из целых функций и функций аналитических в верхней полуплоскости С
= £ 2 : Ум.%>0З’, и всюду понимать сходимость в смысле ран- / номерной сходимости на каждом компакте.
Теория интерполяции аналитическими функциями, рождение которой связано с именами Ньютона и Лагранжа, является важ -ной отраслью современного анализа. Интерес к этой тематике обусловлен обширной сферой её приложений в вопросах полноты систем аналитических функций в комплексной области, в теории дифференциальных уравнений, уравнений в свёртках, краевых

задачах, задачах оптимального управления и других областях математики.
Вопросами интерполирования в классах целых функций конечного порядка занимались многие математики, укажем на ис -следования А.О.Гельфонда [22], В.I.Гончарова [2£], М.А.Ев -графова [40] , Б.Я.Левина [58], А.Ф.Іеонтьева [бо] , [б±], [б|], [бз] , И.И.Ибрагимова [41], И.И. Ибрагимова и М.В.Келдыша [42], Ю.А.Казьмина [43] , [44] , [45] , Ю.Ф.Коробейника [47], [48] и других авторов.
Не останавливаясь на задачах интерполяции, связанных с интерполяционными рядами Ньютона, Абеля - Гончарова и другими, рассмотрим следующий интерполяционный процесс, носящий имя Лагранжа. Пусть в комплексной плоскости С (или в полуплоскости С* )> задана последовательность попарно различных точек {ак}°° (узлов интерполяций . В качестве последователь- _ ности линейных функционалов возьмём последовательность функционалов, определённых формулами
Ф =£сак)= ■кеМ •
Р (г) ..■ (О
" к = < (2~а« )Е гак) в котором 5 (£) - целая функция с простыми корнями в узлах
»1 ^ к. 11 * принято называть рядом Лагранжа.
Он является интерполяционным рядом для задачи (і) о системой функционалов (2). Целые функции
Е (г) = —Е_(г) _ 1 2 (г-лк)Е'(*к)
образуют систему, биортогональную к системе (2), которая в

отличие от других интерполяционных процессов (Ньютона, Абеля - Гончарова) не сводится к системе полиномов. Одним из первых математиков, начавших систематическое изучение и применение рядов Лагранжа, был Борель [б] . Для того чтобы обеспечить сходимость ряда (3) , Еорель [7] предложил в каждое слагаемое вводить множитель ( £ / <Х к) к с целыми ^ О или, более общим образом [в] , вместо (з) рассматривать рад
У Е (4)
Е'ЮГК)
с подходящей целой функцией
Борель использовал ряд Лагранжа для изучения зависимости особенностей степенного ряда от свойств его коэффициентов, Тейлора.
В 1940 году б.Я.Левин рассмотрел задачу интерпо -
ляции (2) с узлами, образующими Я - множество (см. [_57^ , гл. 2) . В этом случае известно исключительное множество, вне которого каноническая функция ЬС? )» построенная по множеству узлов , удовлетворяет асимптотическому ра -
венству 4|Е(2)1= £(&) и можно доказать, что при
условии
О ^(1®К I)
1и^|4(Я(Д>2ак)-£)К1 ,£>о,
ряд Лагранжа (3 ) сходится равномерно на каждом компакте и представляет целую функцию класса П§(Г); (®) ]
^ “ множество с показателем § (г) , то для су -ществования целой функции р 6 Г5МДСв)] , удовлетво-

дивизор оО удовлетворяет условию (2.10) •
Заметим далее, что если дивизор £0 удовлетворяет условию (2.10), то при любых фиксированных
действительно, обозначим •£ = Г £ . тогда

г
(Д-Д) W/jjV)
£,i vw
(3.13) следует отсюда, из (2.10) и свойства l) уточнённого порядка.
Докажем теперь, что при любом фиксированном > о
er + (лл ; <Г) с оо . (3>14)

Предположим: противное, т.е., что существует число > 0,
Г 7 с>° *
последовательности С |Ю| , Ск = Т^в ** nß^jcx»
при ц—такие, что
(Сп)<^о)>^Пг , И. =1,2
В силу неравенства (3.13) можно считать, что ^ < 1/8.
Пусть сначала
iwi =оо . (зле)
VI —> о=>