Α-интеграл в теории рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара

• Автор: Костин, Валентин Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Определения и предварительные утверждения

§1.1. Мартингалы

§1.2. Мультипликативные системы и обобщённые системы Хаара .. 13 §1.3. А-интеграл

Глава 2. Восстановление коэффициентов с помощью А-интегра-ла: общий подход

§2.1. Сходимость всюду и ряды Фурье в смысле А-интеграла

§2.2. Класс рядов Фурье в смысле А-интеграла

Глава 3. Замкнутость справа в смысле А-интеграла мартингаль-ных последовательностей

§3.1. А-замкнутость справа и ряды А-Фурье

§3.2. А-замкнутость справа и равномерная А-интегрируемость

§3.3. Критерий А-замкнутости справа для мартингалов
§3.4. Теорема А.И. Рубинштейна
§3.5. Критерий АН-замкнутости справа для мартингалов
Глава 4. Мажорантные условия восстановления коэффициентов с помощью А-интеграла
§4.1. Основная теорема
§4.2. Следствия: критерии для рядов Фурье
§4.3. Случай неограниченных Р-систем
§4.4. Обобщение теоремы Л.А. Балашова
§4.5. Теорема А.И. Рубинштейна
Список литературы

Введение.
1. Впервые конструкция А-интеграла, без формального определения, появилась в 1929 году в работе Титчмарша [59] при изучении функций, сопряжённых к суммируемым. Хотя сопряжённый ряд к тригонометрическому ряду Фурье интегрируемой функции /(ж) (С, 1 )-суммируется почти всюду к сопряжённой функции f(x), последняя может не быть интегрируемой по Лебегу ни на каком интервале [а, Ь] С [0,27т] (см. [27]). Таким образом, по предельной (в смысле (С, 1)-сходимости почти всюду) функции /(ж) коэффициенты сопряжённого ряда не могут быть восстановлены по обычным, в которых фигурирует интеграл Лебега, формулам Фурье. Проблема решается с помощью обобщения понятия интеграла, когда интегралы в формулах Фурье понимаются обобщёнными. Титчмарш определил Q-интеграл как предел (1.13), и показал, что вообще говоря, Q-интеграл не обладает свойством аддитивности (см. также [4, с.586]), однако если Q-интегрируемые функции удовлетворяют условию (1.12), то для них аддитивность имеет место. В дальнейшем для измеримых функций, удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13), утвердилось название «А-интегрируемые», а предел (1.13) стали называть А-интегралом. Результат Титчмарша [59] был первым применением А-интеграла к вопросам восстановления коэффициентов, — из него следует, что ряд, сопряжённый к тригонометрическому ряду Фурье интегрируемой функции f(x), есть ряд А-Фурье сопряжённой функции /(ж).
В вероятностной форме (для случайной величины из произвольного вероятностного пространства (Г2, В, Р)) определение А-интеграла было дано в 1933 году А.Н. Колмогоровым в [53] (см. также [25, с.82-85]) в виде обобщённого математического ожидания.
Следующие приложения А-интеграла были сделаны в пятидесятых годах П.Л. Ульяновым. Помимо дальнейшего изучения сопряжённых рядов и сопряжённых функций ([43] и др.), интегралов типа Коши ([44] и др.), П.Л. Ульянов в 1953 году выделил ещё один класс А-интегрируемых функций: ряды по синусам или по косинусам с коэффициентами ограниченной вариации [41, 42]. В частности, им установлено, что любой такой ряд есть ряд А-Фурье своей суммы (в смысле сходимости почти всюду).
Поскольку А-интсграл нашёл довольно много применений, следовало подробно изучить его свойства. А-интеграл является неабсолютным интегралом, обобщающим интеграл Лебега. Выяснилось, что из-за своей общности он обладает рядом неприятных качеств. Как показали О.Д. Церетели [45, с.70] и Т.П. Лукашенко [28], А-интегрируемая на отрезке функция может не быть А-интегрируемой ни на каком подотрезке. И.А. Виноградова
[13] и О.Д. Церетели [45] установили, что неопределённый А-интеграл может совпадать с произвольной измеримой функцией почти всюду, то есть между неопределённым А-интегралом и подынтегральной функцией нет никакой дифференциальной связи. Как показала И.А. Виноградова [12], А-интеграл противоречит несобственному интегралу Лебега. Такое поведение типично для взаимоотношений А-интеграла и с другими обобщёнными интегралами — он противоречит различным интегралам типа Перрона, Хенстока и т.д..
Как ни странно, последнее «плохое» свойство А-интеграла связано с его «хорошим» свойством — инвариантостью относительно преобразований, сохраняющих меру. Большинство классических обобщённых интегралов этим свойством не обладают. Из инвариантных относительно сохраняющих меру преобразований отметим рассмотренный Йонедой [62, 63] АН-интеграл, являющийся обобщением понятия А-интеграла.
С.С. Афанасьевой [3] были получены достаточные условия возможности предельного перехода под знаком А-интеграла.
В семидесятых годах А.Ю. Петрович [31, 32] показал, что существует всюду сходящийся к конечной А-интегрируемой функции тригонометрический ряд, не являющийся её А-Фурье рядом, то есть известная теорема Валле-Пуссена (всюду сходящийся к конечной интегрируемой функции тригонометрический ряд есть её ряд Фурье) не переносима на А-интеграл. Кроме этого, А.Ю. Петрович установил (см. также [30, 33]), что при некоторых дополнительных условиях на А-интегрируемую функцию аналог теоремы Валле-Пуссена всё же верен.
Из последних результатов по применению А-интеграла в вопросах единственности можно выделить работы Г.Г. Геворкяна [16, 15, 17]. В них для тригонометрической системы (в случае суммирования методом Римана) и системы Франклина (в случае сходимости почти всюду), в частности, решён вопрос восстановления коэффициентов рядов, функция распределения мажоранты частных сумм которых Ф(А) убывает быстрее 1/А при А —»■ оо. В этом случае коэффициенты восстанавливаются А-интегралом, в случае же ослаблений условий на мажоранту могут возникать его обобщения (не обязательно являющиеся линейными, и, соответственно, обобщёнными интегралами, поскольку в последнее понятие обычно включают линейность, например, (^-интеграл так и не был признан «настоящим интегралом»).
Подробный обзор по теории А-интеграла и его применениям можно найти в работах В.А. Скворцова [38] и (совместно с И.А. Виноградовой) [14].
В действительном анализе А-интеграл нужен, прежде всего, для решения задач единственности и восстановления коэффициентов, причём его применение исторически рассматривалось, в основном, в теории тригонометрических рядов. В настоящей диссертации изучается применение А-

Ясно, что оо сходится всюду на [0,1] к функции ф(х), совпадающей в Р-ично-рациональных точках с функцией ip(x) и равной нулю в остальных, так как

ц{х: ф{х) ф 0} = lim 'у е — lim е* = 0,
k-too —' k—too

а поэтому ф{х) — функция не выше первого класса Бэра. □