Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра

• Автор: Бурмистрова, Мария Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава I. О РЕГУЛЯРНОСТИ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ
ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
§1.1. Вспомогательные утверждения
§ 1.2. Регулярность в точке X = 0 методов суммирования рядов Фурье-
Лагерра непрерывных функций
§1.3. Равномерная регулярность методов суммирования рядов Фурье-
Лагерра
Глава II. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА С
КВАЗИМОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В
ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА
§2.1.0 сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными
коэффициентами в пространствах ЛебегаЬу (0,со)
Глава III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ТОЧКАХ ЛЕБЕГА
§3.1. Предварительные сведения
§3.2. Сингулярность ядра линейных средних по полиномам Лагерра
§3.3. Построение монотонных мажорант для ядер Фейера и Валле
Пуссена
§3.4. Суммируемость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых с
единичным весом функций в точке Лебега ?
§3.5. Сходимость в точке Лебега t = 0 линейных средних для функций пространства 1и
Литература

Введение
Ортогональные многочлены и ряды Фурье по ним имеют широкое применение в различных областях математики, математической физики, в задачах обработки информации, при решении дифференциальных и интегральных уравнений и в других задачах. Одной из основных проблем теории рядов Фурье по ортогональным многочленам, как и в целом теории ортогональных рядов, является исследование условий их сходимости и суммируемости. Сходимость и суммируемость рядов Фурье изучаются как для произвольных систем ортогональных многочленов, так и для конкретных систем ортогональных многочленов. В частности, большое теоретическое и практическое значение имеет исследование вопросов суммируемости разложений Фурье по классическим ортогональным многочленам Якоби, Лагерра, Эрмита, тесно связанным с решением краевых задач математической физики.
Особый интерес представляют ряды по многочленам Лагерра и Эрмита, ортогональным на бесконечном промежутке. Неограниченность промежутка вносит существенные сложности в исследование указанных выше вопросов. В нашей работе изучается задача о суммировании рядов Фурье-Лагерра линейными методами.
Пусть (О) , , ОС > — 1, - оргонормированная на [0, оо) с весом
р(иа) = е иа система многочленов Лагерра, то есть система алгебраических многочленов таких, что

1ат(<)/?

где 8т I - символ Кронекера. Для определённости положим знак старшего коэффициента Цп (?) равным (—1)”.
Пусть для некоторой функции / существуют интегралы

ат = *ае 7(0£(0*-
ае 1 / . Тогда функции
можно поставить в

соответствие её ряд Фурье-Лагерра
/(х)~ атЬат(х).

Вопросам сходимости ряда (1) к разлагаемой функции посвящено много исследований. В них, в основном, изучалась сходимость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых функций в весовых пространствах Лебега, то есть в пространствах функций f измеримых по Лебегу на [0,+оо) и таких, что
непрерывных и дифференцируемых функций.
Наиболее существенный вклад в исследование задачи о сходимости в среднем в пространствах интегрируемых с различными весами функций внесли X. Поллард [58], Р. Аскей и С. Вейнгер [42] и Б. Макенхоупт [55], [56]. Отметим, что сходимость в среднем рядов Фурье-Лагерра существенно зависит от выбора весовой функции и(7). X. Поллард в работе [58] рассматривал
сходимость в среднем с весом «(?) = £ 11Р(а 1Р и доказал, что ряд Фурье-Лагерра сходится в метрике этого пространства только когда р — 2. Р. Аскей и
С. Вейнгер [42] рассматривали сходимость в пространствах IР с весовой функцией = е 2а , при СС> 0. Они доказали, что в таком
пространстве сходимость ряда Фурье-Лагерра будет иметь место при всех 4/3 < р< 4. Макенхоупт в работах [55], [56] рассматривал произвольные весовые функции. Более того, в работе [56] он рассматривал задачу о
1 /р
<оо, 1 < р < со, причем весовая функция и(/) связана
с весом Лагерра
Также изучалась поточечная сходимость в случае

функции / е С, то Л] равномерно сходится к 1Рт (х) при
п —> оо для любого т. Но , х, Л| = А 1?т (х) при п>т. Значит
А —> 1 при /7 —> оо для всякого фиксированного т. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть для некоторого метода суммирования Л выполнено условие А$ —> 1 при П —> со для всякого фиксированного т.
Покажем, что из этого следует, что последовательность |ти £,х0,Л
фундаментальна для любого т. Фиксируем Я > 0. Тогда найдется такой
| » номер п > т, что для любых , т?2 > п
і І £
от от Бир х>0 от (х) е~*/2

Тогда для любых >72
:"(££,*.Л)-г* (Д,х.л)|е-'/2)

з(«і)
от от

£(*)<

а это означает, что последовательность , х, д|| фундаментальна.
Следовательно, в силу замкнутости системы многочленов Лагерра в С, при условия 8ир|б Х!2 £“(х,Л))<С, 72 = 1,2,. из теоремы А'
выполнении

а ґ-і
следует, что операторы Тп сходятся на пространстве С к непрерывному
линейному оператору Р . Утверждение доказано.