О всплесках, локализованных по времени и частоте

• Автор: Лебедева, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Курск
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обозначения и вспомогательные результаты
1.1 Обозначения
1.2 Сведения из теории всплесков
1.3 Квадратичные сплайны дефекта
2 Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейера
2.1 Минимизация константы неопределенности семейства всплеск-
функций Мейера прямыми методами
2.1.1 Упрощение константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера
2.1.2 Использование метода Ритца для минимизации константы неопределенности семейства всплеск-функций Мейера
2.2 Уравнение Эйлера-Лагранжа для минимизации константы
неопределенности семейства всплеск-функций Мейера
3 Экспоненциально убывающие всплеск-функции, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость
3.1 Сплайн-функции и частотные последовательности Пойя как
материал для построения ортогональных всплеск-функций

3.1.1 Сплайн-функции как материал для построения ортогональных всплеск-функций
3.1.2 Частотные последовательности Пойя как материал для построения ортогональных всплеск-функций
3.2 Экспоненциально убывающие всплеск-функции, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость
3.2.1 Сходимость семейства масок к маске Мейера
3.2.2 Рост гладкости (на основании свойств маски)
3.2.3 Сходимость неортогонализованных масштабирующих функций к масштабирующей функции Мейера
3.2.4 Равномерная ограниченность частотных радиусов функций <р1~
3.2.5 Равномерная ограниченность временных радиусов функций
3.2.6 Равномерная ограниченность констант неопределенности семейства
Литература
Приложение

Введение
Актуальность темы. Всплеск-функцией (англ. wavelet) называется функция ф, либо используемая в качестве ядра интегрального оператора
либо порождающая ортонормированный базис фк{ш) := 22ф(2ш — к), к е Ъ пространства Ь2(Ш). В данной работе термин всплеск-функция будет пониматься во втором смысле.
Теория всплесков — интенсивно развивающееся межпредметное направление, включающее в себя исследования из области теоретической математики, прикладной математики, информатики. Один из первых примеров всплесковых базисов, построен И. Мейером в 1986 г. [33] и носит его имя. В настоящее время семейство всплеск-функций Мейера и его модификации находят многочисленные применения в математическом и функциональном анализе, теории функций, численных методах решения дифференциальных уравнений, обработке сигналов и т.д. (см., например, обширную библиографию в [29, 20]).
Константа неопределенности служит количественным показателем в задачах, связанных с принципом неопределенности, используемом в квантовой механике, в гармоническом анализе, в задачах время-частотной локализации (см., например, обзоры [26, 27] и статьи [25, 35]). Константа неопределенности характеризует локализованность функции во временной (множитель Аф) и в частотной (множитель Д) областях. Чем меньше каждый
при соблюдении условия

Итак, функционал ёрм, заданный на множестве функций 9, принимает

147Г

ш зіп(2(?(а;)) ёи
ёш.
(2.2)

Благодаря представлению (2.2) функционал .Дм определяется теперь значениями функции в, взятыми только из отрезка [0; 7г/3]. Поэтому в качестве области определения этого функционала можно брать подмножества пространства С*[0; 7г/3], к € М, для элементов которых выполняются граничные условия, обеспечивающие необходимый порядок гладкости функции в на всей прямой. Для случая к = 1 приходим к заданию следующей области определения функционала (2.2):

«0) = *-(=)= о, *(§Н).
Условия 9 (§) — 0(0) = 0, в' (|) = 0 следуют соответственно из тре-
бований непрерывности в точке непрерывности в точке 0, непрерывной дифференцируемости в точке | функции 9, как функции, заданной на всей прямой. Второе равенство необходимо также для обеспечения требования нечетности функции 9.
Выражение (2.2) позволяет получить новую нижнюю границу для констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера. Справедлива
Теорема 2.1.2 Имеет место оценка
2І7Т2
_32~’
(2.3)
Доказательство.
На основании неравенства Коши-Буняковского для Ь2{[0; |]) получим
( I / №))3
ёш I ёш

2 Е з 7» 7Г 3 п
> / 9'(ш)ёш> / 9'(ш) ёш
! 1 0 ё