Мультипликаторы степенных рядов, операторы Теплица и двойственность в некоторых пространствах аналитических в поликруге функций

• Автор: Шамоян, Роми Файзоевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Описание мультипликаторов степенных рядов некоторых классов аналитических в поликруге функций
§1.1 О мультипликаторах из пространств со смешанной нормой в пространства Харди в поликруге
§1.2. О мультипликаторах в классы В МО А, Бесова и Липшица в поликруге
§1.3. Об ограниченности преобразования Харди в некоторых классах аналитических функций
ГЛАВА 2. Ограниченные проекторы, представление функционалов и операторы Теплица в пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой и в классах типа ВМОА
§2.1. Ограниченные проекторы в пространствах А (£/”) и В"’* (17")
§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в
пространствах Г (17п) и А®
§2.3. Ограниченность операторов Теплица в пространствах
ВМОА^(17)и ВМОА*(17), 0<х<1
§2.4. Об операторах Теплица в пространствах В (17п)
Литература ]

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В теории классов Харди и ее многочисленных приложениях, как впрочем и во всем комплексном анализе, существенное место занимают вопросы, возникающие при представлении голоморфных в
областях евклидова пространства Сп функций степенными рядами. Проблема описания мультипликаторов степенных рядов в пространствах аналитических функций является одной из классических, несколько результатов в этом направлении были получены еще в начале XX столетия в работах Харди и Литтлвуда (см.[ 1 ],[2]). В дальнейшем эти исследования были продолжены в многочисленных работах других математиков (см.[3]-[18], [52]). Интерес к этим задачам со временем сохраняется. Более того, в последние годы появилось большое количество работ по этой тематике. Однако случай функций нескольких переменных до сих пор остается мало исследованным(см.[10], [14], [52]).
Операторы Теплица '//,(/)- Р+(/Н), где /( - проектор Рисса, играют важную роль при изучении вопросов связанных с факторизацией функций, при изучении метрических проекций, при описании замкнутых идеалов в алгебрах аналитических функций и т.п. В пространствах голоморфных функций в единичном шаре пространства Сп эти операторы исследовались в работах А.Б.Александрова, П.Ахерна, Р.Шнейдера (см.[36]). Актуально исследование подобных задач и в классах голоморфных в поликруге 11п функций.
Возрастающая роль в математическом анализе пространств ограниченных в среднем функций {ВМО) хорошо известна. Поэтому также представляется актуальным исследование различных подпространств таких пространств, составленных из аналитических функций.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является:
- получить полное описание мультипликаторов различных классов аналитических в поликруге функций ( со смешанной нормой, пространств Харди),

- исследовать действие обобщенного преобразования Харди в весовых пространствах Бергмана, в пространствах Харди и в аналитических подпространствах пространств ограниченных в среднем функций.
- изучить поведение операторов Теплица в пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, в классах типа В МО А.
Методы исследования. В диссертации применяются методы классического функционального и комплексного анализа, теории классов Харди. Существенную роль в работе играют диадические разбиения
поликруга и п, свойства многомерных ядер Бергмана-Джрбашяна.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение за пределами чистой теории функций, в частности при исследовании уравнений в свертках.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 1999), на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), на семинаре в МПГУ (руководитель: профессор Е.А. Горин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54]-[60].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов. Работа занимает 110 страниц текста. Библиография содержит 60 наименований.
Содержание диссертации
Первая глава диссертации посвящена описанию мультипликаторов в пространстве голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, а
также в классах Нр , Нр - Харди и Харди-Соболева аналитических
функций в поликруге и изучению действия обобщенного преобразования

Замечание. Применяя методы, предложенные в доказательствах теорем
1.1 и 1.2 нетрудно показать, что условие
М5(отg,r\ - г)

£ > — - — достаточно и необходимо При £ = 0 для включения

,т+1-а—-—е I 1 с
р <00, т>~ + £ + а-1, где е -любое,

Ск^пММт(Аа<Н' гДе
Л 1Л а + —

>1, 0<5 условие 8ир

любое, £ > ( 1

р <00 т> — + £ +а-1, где £ -Р
- достаточно, а при £ = 0 необходимо для включения
їСк )ы2” Iе МТ [Аа >115, , где р > 1, .у > 1.
Пусть /2(н")=- ^=(%.-.%,е2Г3^|2<о° |*|>° ■. В работе
доказано следующее утверждение Теорема А
1) Последовательность акегп принадлежит множеству
в том и только в том случае, если
/<1 =0 =о
2) Если последовательность ак)ке2п 1 удовлетворяет условию

^к2Ы = Ф), ТО ^]|а£1+ .+*„||^|<0° ддя любой функции

/,/є //1 (г/"):/(г)= '*уЛркхк . Учитывая этот результат и теорему 1.1 легко

получить Следствие 1.9.