Минимальные множества однородных потоков и метрические свойства индуцированных действий

• Автор: Куликов, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Список обозначений

1 Минимальные множества геодезического потока

1.1 Используемые понятия и обозначения

1.1.1 Фуксовы группы

1.1.2 Геодезический и орнцикличсский потоки

•' 1.1.3 Предельные точки и их классификация

1.2 Группы тина Шоттки

1.2.1 Определение групп типа Шоттки

1.2.2 Кодирование предельных точек групп типа Шоттки

1.3 Большие геодезические

1.4 ст-минимальныс множества

1.5 Доказательство гипотезы Дальбо-Старкова
2 Орициклические потоки и линейные действия дискретных групп
2.1 Предельные точки со свойством сдвига
2.2 Техника прыжков I
2.2.1 Группы с парами равных полуокружностей
2.2.2 Группы с парами симметричных полуокружностей
2.2.3 Метод доказательства орицикличности точек
2.2.4 Прыжки первого и второго рода
2.3 Орнцикличсский поток без минимальных подмножеств
неблуждающего множества
Г 2.4 Техника прыжков II
2.4.1 Составные прыжки

2.4.2 Конечно-порожденные группы с парами равных полуокружностей
2.4.3 Крокодилы
2.5 Орициклический поток без минимальных множеств
2.6 Бесконечно-порожденная группа первого рода без нерегулярных точек
3 Метрические свойства Т-индуцированных действий
3.1 Используемые понятия и обозначения
3.1.1 Однородные пространства групп Ли
3.1.2 Действие на пространстве с мерой и сопряженное
ему представление
3.1.3 Надстройка над однородным пространством и индуцированное действие
3.1.4 Индуцированное представление
3.1.5 Сопряженность индуцированных представлений и
действий
3.1.6 Точки Лебега измеримых отображений
3.2 Критерии эргодичности и перемешивания
3.3 Доказательство критериев эргодичности и перемешивания
3.4 Доказательство вспомогательных лемм
3.4.1 Редукция к действию подгруппы Гц
3.4.2 Свойства индуцированных действий
3.4.3 Разрешимая подгруппа полупростой группы
3.4.4 Подгруппа со свойством Маутнера
3.4.5 Перемешивающий однородный поток
3.5 Примеры
3.5.1 Слабо перемешивающее действие, индуцирующее
неэргодичное
3.5.2 Неэргодичное Т-индуцированное действие
3.5.3 Эргодичное действие решетки в полупростой группе, индуцирующее неэргодичное
3.6 Неподвижные векторы индуцированных представлений
3.7 Полнота меры точек Лебега
Литература

Настоящая работа относится к теории динамических систем и групп преобразований. В первых двух главах изучаются вопросы топологической динамики, а в третьей главе речь пойдет о метрической теории, в которой изучаются группы преобразований с инвариантной мерой.
Первая глава работы посвящена изучению некомпактных минимальных множеств геодезического потока на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. В частности, доказывается гипотеза относительно существования таких множеств, сформулированная Ф. Дальбо и А. Н. Старковым.
С точки зрения теории однородных динамических систем, геодезический поток на единичном касательном расслоении Т1 Л/ к поверхности М постоянной отрицательной кривизны можно представит!, в качестве однородного потока, заданного однонараметричсской подгруппой {gt : t Ç R} па однородном пространстве TPSL(2,R) = Т*Л/, где
и Г — некоторая фуксова группа, то есті, дискретная подгруппа в группе РЗЬ(2,К) = 5Ц2, К)/{±1}. Более точно, геодезический поток определяется формулой
Дадим определения минимального и неблуждающего множеств для произвольного непрерывного потока <р% на топологическом пространстве X. Множество Д С А' называется минимальным относительно потока сд;* (или <рх-минималъным), если И замкнуто, непусто и ^-инвариантно и для любой точки замыкание ее орбиты совпадает с И: Щх = И.
Точках 6 Л' называется блуждающей относительно потока<^а, если найдутся такие открытое множество V Э х и число Т > 0, что для любого £, такого что |£| > Т, выполнено ^,(7 П и = 0. Неблуждающее множество
5і(Г
символов, и утверждение справедливо по предложению 17. Если же {|(,|} неограничена, то среди S(j) содержатся полуокружности сколь угодно малого радиуса и
г(/г(1) ...h(n — l)(5(n))) < min r(S(j)) —> 0, п —»• оо.
Рассмотрим теперь случай, когда sup{|fcj|} = оо. Построим последовательности {js} и {т,} следующим образом. Положим ji = 1, гп 1 = [(|A,-i|+2)/2], где [•] — целая часть. Затем для s > 1 индуктивно определим js, как наименьшее возможное натуральное число, удовлетворяющее условиям js > js-i и > 2ms_i — 1, и положим ms = [(|fcj,| + 2)/2]. Тогда {ma} строго возрастает, |&jj = 2ms — 1 или |fya| = 2т, — 2, и |А:Л-[ < 2т,-! — 1 < 2(ms — 1) — 1 при j < js.
Заметим, что левая часть (2.1) монотонно убывает по п, поэтому сходимость к нулю достаточно доказать для подпоследовательности, то есть осталось показать r(/i(l)... h(jt — l)(S(jf))) —>■ 0, i —> со.
Если т, - nis— > 1, s > 1, то |/с,,| > 2т, - 2, < 2ms_i — 1,
и по свойству 5 полуокружность S(js) делает прыжок первого рода в S'U, — 1) уровня Cr,Qmj~"'*~1+1 — 1 Поэтому полуокружность h(j,)... h(jt — 1 )(S(jt)) С Int(S(j3)) но предложению 15 сжимается под действием h(j, — 1) не менее, чем в CaQm,~,n‘-I+1 раз.
Если 7н, = ms-i + 1, s > 2, то возможны четыре случая.
Случай 1. |l.js_i| < 2ms_1 —1. Тогда но свойству G S(js) делает прыжок первого рода и S'(j, — 1) уровня СоСлучай 2. = 2m,-i — 1, S'(j, — 1) и S(js) лежат по разные
стороны от мнимой оси. Тогда по свойству 6 S(js) делает прыжок первого рода в S’(j, - 1) уровня Со.
Случай 3. = 2ms-i — 1, S'(j, — 1) и S(js) лежат по одну сторону от мнимой оси, |&jj = 2ms-i + 1. Тогда полуокружность S(j,) но свойству 6 делает прыжок первого рода уровня Сб в полуокружность S'(js — 1).
В первых трех случаях полуокружность h(j3)... h(jt — 1 ){S(jt)) С
Int(5(js)) сжимается поддействием h (j, — 1 ) не менее, чем в тт{Сб, С4}+
1 = ((min{C6,C4} + раз.
Случай 4. |fcj,-i| = 2ms_] — 1, S'(js — 1) и S{js) лежат по одну сторону от мнимой оси, [A.J-J = 2т,-I. Тогда полуокружность h (j, — l)(S(j,)) лежит внутри четверти круга {z 6 Int(5(js — 1)) : | Re д| > |c(S(js — 1))|}, a потому по свойству 4 делает прыжок первого рода уровня С4 в полуокружность S'(j, — 2). В случае j,-i < j, — 1 полуокружность h(js - 1)... h(jt — ){S(U)) С Int(S(j3 — 1)) сжимается под действием h(js—2) не менее, чем в С4+1 = ((C4+l)раз. Рассмотрим