Некоторые классы функциональных пространств, характеризуемых в терминах средней осцилляции и операторов с ядрами типа Бергмана

• Автор: Кодзоева, Фердос Джабраиловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 132 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1 Глава 1: Весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске
1.1 Постановка задач и предварительные сведения
1.2 Весовое пространство Бергмана на единичном диске
1.3 Метрика Бергмана, па В и некоторые вспомогательные утверждения
1.4 Операторы дробного интегродифферснцировапия в пространстве аналитических функций Н(Ю>)
1.5 Некоторые свойства пространств Вр(Ю)
1.6 Описание пространств Вр(Ю>) в терминах весового проектора Бергмана
1.7 Описание Вр(№) в терминах весового дифференциального оператора Яа,і
1.8 Описание функций из (О) в терминах осцилляции
в метрике Бергмана
1.9 Дальнейшие свойства пространства Вр(В)
1.10 Интерполяция и двойственность весовых пространств Бесова
1.11 Комментарии к главе 1
2 Глава 2: Описание функций из весового пространства ВМОд(У2) на единичном бидиске
2.1 Постановка задач и предварительные сведения
2.2 Метрика на V2 и некоторые вспомогательные утверждения

2.3 Весовое пространство ВМОд(У2)
2.4 Некоторые результаты для функций из ВМОд(У2)
2.5 Липшицевость преобразования Березина функций из ВМО(У2)
2.6 Описание пространства ВМОд(У2) в терминах преобразования Березина
2.7 Пространство ВМОдг(У2): описание ВМОд(У2) в термицах усреднений
2.8 Комментарии к главе 2
3 Глава 3: Пространства функций ВМ0Р)Ш(0), определенные в терминах р -суммируемости средней осцилляции
3.1 Постановка задач и предварительные сведения
3.2 Определения и некоторые свойства метрических ха,-рактеристик
3.3 Пространства ВМОР;Ш(М), ВМОр>и;(К+) и ВМОР1Ш(а, Ь)
3.4 Некоторые оценки для локально суммируемых фуик
3.5 Полнота пространства ВМОррДЖ)
3.6 Продолжимость функций из ВМОР!Ш(Ж±)
3.7 "Склеивание11 функций из ВМОрр;(М±)
3.8 Ограниченность операторов Вольтерра и свертки в пространствах ВМОР1Ш(Ж) и ВМОР!Ш(К+)
3.9 Комментарии к главе 3
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Результаты диссертационной работы относятся к теории функциональных пространств вещественного и комплексного переменного.
Диссертационная работа посвящена исследованию новых классов существенно различных функциональных пространств, в определении и (или) описании которых используется средняя осцилляция функции. Развиваются новые методы исследования и обобщаются известные и ставшие уже классическими методы, основанные на. технике дробного интегродифференцирования, технике преобразования Березина; методы теории интегральных операторов с каноническими ядрами, методы теории функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного.
Исследованы весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, пространства функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске и пространства функций с р— суммируемой с весом ограниченной средней осцилляцией па вещественной оси, полуоси и отрезке.
Пространства Бергмана, Харди, Бесова, Липшица, Блоха и ВМОА наиболее широко изучены в современной литературе в ряду пространств аналитических функций одного или многих переменных. Широкий круг задач, в том числе интегральные представления функций из этих классов, разложение на атомы, вопросы двойственности, интерполяции, характеризация в терминах производных (в том числе и дробных) объединяет эти пространства и связывает решение этих задач со ставшими уже классическими операторами типа Бергмана, операторами дробного интегродиф-ферепцирования, преобразованием Березина и техникой средней

где обозначено
= (1 - w2)mf(mXw)
V>{W) w171
Заметим, что ір Є IT (О, dv) и тогда / Є РРДВ, dv).
Обратно, для / £ PITQD), du) имеет место равенство (1.21) с
р> Є ІД'(В, dv). Дифференцируя по переменной г равенство (1.21)
под знаком интеграла т раз и умножая на (1 — z|2)m, получим
(l-|z|2)m/<”>M _ ±а-м»г

- r+m+l) (&*»*") <*>'
где оператор /]Л определяется равенством (1.20), в котором а = т. Тогда (1 - г*)т/М(г) £ LP(D,duА) в силу теоремы 1.14.
Таким образом, условие / Є Рд1Т(В, dv) эквивалентно тому, что (1 — z2)mf(mz) Є Lp(p,dv) для всех m 2. А условие (1 - z2)mfmz) £ U>(B,di/x), т 2, согласно теореме 1.7 равносильно тому, что / Є .Вр(Ю), —1 < А < 0. Теорема доказана.

Обозначим
тАv f f f(z) ~ /(u')lp(i— №)А. i j (
Jf -J J Ц zir|4 2A dpx{z)dp,{w).

При 0 A < оо предыдущий результат можно обобщить следующим образом.
Теорема 1.16 Пусть 1 < р < оо, 0 Л < оо и /- аналитическая на О функция. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. / Є РрЛ(0);
0. / Є Р/Т(Ю),сОл);