Изопериметрические экстремальные задачи типа Гронуолла в теории однолистных функций

• Автор: Разумовская, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 102 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА І. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТИПА ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Дифференциальные уравнений для экстремальных функций

множества значений {log | /(г) | Э?а2} в классе S

§ 2. Методы оптимального управленим в решении задачи

§ 3. Описание множества значений (log | /(г) | SЯд2} в классе S .

ГЛАВА 11. ЗАДАЧА ГРОНУ ОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА

БАЗИЛЕВИЧА

§ 4. Множество значений {| /(г) |, | а2 |} в классе Ва(/1)

§ 5. Описание множества значений {| f(z), | а2 j} в классе Ва . §

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач в теории конформного отображения.
Обозначим через Я - класс всех голоморфных и однолистных в единичном круге Е = {г : г < 1} функций /(г) = г + + •••; через Яд -
класс всех функций / (г) 6 Я, удовлетворяющих в Е условию /(г) = /(г).
Одними из основных задач в теории однолистных функций являются вопросы нахождения множеств значений различных функционалов и систем функционалов в классах Я и а также в других основных классах однолистных функций. Как самостоятельный объект исследования выделяются функционалы, аналитически зависящие от значения функции и ее производных до некоторого порядка, вычисленных в фиксированных точках области задания класса функций. В обобщенном виде система таких функционалов представима как
Лі )./Ы-./ЫЫ}.
где %- произвольные фиксированные точки Е. Частный случай
такой системы связан с двумя задачами Гронуолла [32], [33] о нахождении
/"(0)
оценки |/(я)| или |/'(*)| в зависимости от ач - —— в классе Я. Первая

задача Гронуолла на классах однолистных функций и является объектом исследования данной работы.
К настоящему времени разработано большое количество методов для

решения задач оценки указанных функционалов: метод контурного интегрирования, метод интегральных представлений, метод площадей, методы внутренних и граничных вариаций, метод параметрических представлений, метод экстремальных метрик, симметризация и другие. Эти методы получили развитие в работах советских математиков (М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин, И.Е.Базилевич, П.П.Куфарев, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, И.А.Александров, В.Я.Гутлянский, Ю.А.Аленицын, Л.А.Аксентьев, Г.В.Кузьмина, И.П.Митюк, Д.В.Прохоров, В.Г.Шеретов, П.Н.Пронин, А.Ю.Васильев, Г.Н.Камышова, А.М.Захаров и др.) и зарубежных авторов (Т.Гронуолл, Х.Грунский, М.Шиффер, Дж.Дженкинс, К.Левнер, А.Шиналь, Я.Шиналь и др.).
В данной работе систематически использовался метод параметрических представлений. В своей первооснове он восходит к теории чешского математика К.Левнера [37], опубликованной в 1923 году. Метод параметрических представлений позволяет получить конформное отображение одной области на другую посредством построения однопараметрического семейства конформных отображений. Это семейство представимо функцией одного комплексного и одного вещественного переменного (параметра), равномерно дифференцируемой по параметру внутри исходной области и удовлетворяющей как функция параметра некоторому дифференциальному уравнению, в частном случае - уравнению Левнера. Динамика конформного изоморфизма характеризуется изменением функции,

и принимая
**(*) = е<и*Ю,
при ^ = 0 получаем
^1 (0)^1 (0, «*(0),*1 (0), я?3(0)) + ^2 (0)^2 (0, «*(0), хг (0),*3(0))+
+ ±0з(О,и*(О))

, . ( -2к*е 1т
+*(-8(гтау)±2е"‘“'

Й-’йщЙ+Й
■*Й|0±Н№(О))

К(*-ад<т5^Н-£.

Отсюда следует
+-Ч-Й19Н-