Орторекурсивные разложения по переполненным системам

• Автор: Галатенко, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Орторекурсивные разложения
Жадные разложения
Цель работы
Структура и основные результаты работы
1 Устойчивость орторекурсивных разложений к вычислительным погрешностям
1.1 Абсолютная устойчивость к любому конечному числу ошибок
1.2 Абсолютная устойчивость к более широкому классу ошибок
1.3 Абсолютная устойчивость к малым изменениям системы
2 Орторекурсивные разложения по некоторой функциональной системе
2.1 Определение системы
2.2 Свойства разложений
3 Устойчивость жадных разложений к вычислительным погрешностям
3.1 Обзор предшествующих результатов
3.2 Сходимость §А¥СА-разложений
3.3 Практическая реализация жадных разложений
4 Разложения по системе сигнумов
4.1 Общие свойства разложений по системе сигнумов
4.2 Орторекурсивное разложение по системе сигнумов
4.3 Оценки скорости сходимости
4.4 //-разложение по системе сигнумов
4.5 Разложение по системе сигнумов с фиксированными коэффициентами
Литература

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д’Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см., например, [1], [7], [8]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [3], [4], [6]).
В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом обрабатываемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н, в Н выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система {еп}^"=1, где К — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе {еп}^=1,
к ~ - ,, )
ТО есть с рядом J2 fn^n, где /„ = ■ Этот ряд сходится к элементу /, и
п=1 ''
в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.
Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частной суммой разложения, а также так
называемое свойство оперативности (“on-line” свойство). Последнее свойство заключающееся в том, что если точность, с которой N-ая частная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.
Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {сп}^=1, отличной
от последовательности |/п| коэффициентов Фурье элемента / по орк к
тогональной системе {е„}п=1, ряд Y2 спеп либо расходится, либо сходится

к элементу, отличному от /.
В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Решению этой задачи и посвящена данная работа. В работе рассматриваются орторекурсивные разложения и жадные разложения.
Орторекурсивные разложения
Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [13], [14]. Эта процедура разложения дает в случае ортогональной системы в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Напомним определение и некоторые свойства ортрекурсивных разложений по счетным системам.
Пусть ^Н, (■, •) j — пространство со скалярным произведением над полем действительных или комплексных чисел, {е«}^ — система ненулевых элементов Н, f — некоторый элемент Н. Индуктивно определим последовательность остатков {г„(/)}^0 и последовательность коэффициГлава
Устойчивость жадных разложений к вычислительным погрешностям
В настоящей главе исследуется вопрос сходимости gAWGA-разложе-ний (см. определение 5, стр. 11). Основным результатом главы являются условия на параметры разложения, гарантирующие сходимость разложения к разлагаемому элементу. Кроме того, предложен метод разложений, близкий к gAWGA-разложениям, который может быть легко реализован на практике. Основные результаты главы отражены в работах [36], [39], [40].
3.1 Обзор предшествующих результатов
Сходимость к разлагаемому элементу PGA-разложений, а также WGA-разложений с tn ^ t, 0 < t < 1, была установлена в работах JI. Джонса [23], [24] (этот же факт был позднее доказан JI. Рейте и Г. Г. Уолтером в статье [26]). Первое условие на последовательность с Hm inf tn = О,
n—* оо
достаточное для сходимости WGA-разложений, было получено В. Н. Тем-

ляковым в статье [27]. Им было показано, что если ряд У) расходится,

то для любого гильбертова пространства Н и любого словаря D С Н WGA-разложение любого элемента / € Н с ослабляющей последовательностью сходится к /. Первое нетривиальное условие на {in}^,
необходимое для сходимости всех WGA-разложений с такой ослабляющей