Гомологические свойства гильбертовых и близких к ним модулей над С *-алгебрами

• Автор: Поляков, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание

1 Подготовительные замечания

2 Пространственно неплоские алгебры фон Нойманна

2.1 Отображения медленного роста

2.2 Свойства гильбертовозначных функций

2.3 Оценки интегралов по окружности Т

3 Пространственно проективные операторные алгебры, обладающие каноническими представлениями

3.1 Правый обратный морфизм к канонической проекции

3.2 Первое условие проективности

3.3 Второе условие проективности

4 Проективность модулей 11(П) и Г2(0) над алгеброй С(П)

4.1 Достаточное условие проективности
4.2 Первое необходимое условие проективности
4.3 Второе необходимое условие проективности
4.4 Основной критерий проективности
5 Гомологическая размерность С(П)-модуля 1т1 (П)
5.1 Пространство С1(0 х 9) и его свойства
5.2 Ограниченная аппроксимативная единица на кегя
5.3 Существование правого обратного морфизма к морфизму в1 : СЬ(П х П)® ВСр((2 хП)-у кег п

Введение
Основная тема этой работы — изучение гомологических свойств гильбертовых модулей над С*-алгебрами. Одним из основных примеров является гильбертово пространство Н, рассмотренное как модуль над самосопряженной операторной алгеброй А С В(Н) с естественным умножением а ■ Н — а(1г),а £ А,Ъ. £ Н. Другой важный пример — это модуль 1/2(Г2) над алгеброй С(П) с поточечным умножением (здесь О — метризуемый компакт с борелевской мерой). Близкими свойствами к Х2(С) обладает (негильбертов) модуль /ДО) над той же алгеброй. Гомологические свойства (проективность, плоскость, гомологические размерности) вышеперечисленных модулей и будут рассмотрены в данной работе.
Исторический обзор литературы по этим вопросам естественно начать с упоминания доказанной в конце XIX века теоремы Гильберта о сизигиях [30, 8]. Эта теорема (сформулированная современным языком) утверждает, что для произвольного модуля над кольцом многочленов от т переменных над полем существует его свободная резольвента длины т.
В работах Г. Хохшильда [31, 32] были определены группы когомологий Нп(А,Х) алгебры А с коэффициентами в бимодуле X. Хох-шильд также рассмотрел применение этих групп к исследованию радикальных расширений алгебр. Несколько ранее С. Эйленберг и С. Маклейн [19] дали основополагающий образец общегомологических конструкций в рамках теории групп. Основные идеи относительной гомологической алгебры (формального категорного подхода

к введению гомологических понятий) были впервые высказаны Хох-шильдом [33] и развиты А. Хеллером [29], С. Маклейном [8, гл. IX] и С. Эйленбергом-Дж. Муром [20]. В частности, группы Ext (как группы расширений) были введены для п — 1 Эйленбергом и Маклейном [19], а для всех п — Картаном и Эйленбергом (с помощью резольвент)

В 1962 г. Г. Камовиц [35] дал сходные определения когомологий в терминах банаховых алгебр и рассмотрел их приложения к сингулярным расширениям банаховых алгебр (при некоторых ограничениях, впоследствии снятых А. Гишарде [1]). Напомним о приложениях первых трех групп когомологий Хохшильда. Группа Н1{А,Х) равна нулю тогда и только тогда, когда всякое дифференцирование алгебры А со значениями в бимодуле X (т.е. линейный непрерывный оператор D : А X такой, что D(ab) = D(a)b + aD(b)) является внутренним (т.е. имеет вид D(a) = ах —ха, х Е X). Группа Н2(А, X) связана с рас-щепимостыо сингулярных расширений банаховой алгебры [35]. Также установлена связь между устойчивостью алгебры к малым возмущениям оператора умножения и группами Н2(А,А) и iT3(A, А) [34, 36].
В 1970 г. А. Я. Хелемский в работе [16] рассмотрел относительную категорию банаховых модулей. В этой категории каждый объект обладает допустимой проективной резольвентой, что позволяет определить в ней производные функторы (в том числе Ext и Тог), гомологические размерности и иные гомологические характеристики. Определение производных функторов дало возможность связать группы когомологий Хохшильда с группами Ext. Это позволяет вычислить группы когомологий с помощью любой допустимой резольвенты, что существенно расширяет возможности их изучения. Значительный объем результатов, полученных в ходе дальнейшего развития этих идей, суммирован в книге [15].
Перейдем к обсуждению круга вопросов, непосредственно касающихся данной работы. Пусть А С В(Н) — замкнутая относительно топологии равномерной сходимости операторная алгебра, которая не обязательно предполагается самосопряженной. Тогда гильберто-

Ао,к Є Z. Тогда оператор Тг переводит элемент 5аі (соответствующий zl Є І/2(Т)) в элемент Sr,ak+i (соответствующий 5r/zk+l Є L2(T,H)). Таким образом, этому оператору соответствует умножение на функцию 5r,zk Є Т°°(Т,Я). □
Теперь мы докажем основной результат параграфа.
Теорема 5 Норма отображения Рд0 о тг [у] : S Ра0 о S(у), у = YTj-^aki не пРев0СХ°дит J | E"=i zhj dz.
Доказательство. Достаточно оценить норму отображения Y : А' -» I2(F2) : S1 PA0oS'(y). Каждый оператор S1 Є А! в соответствии с леммой 9 может быть отождествлен с функцией S" Є L°°{Т, Н). При изоморфизме H' « L2(T) функции у соответствует функция YTj=l zkj ■ Воспользовавшись леммой 7, получаем оценку
Га, о S'« Il < Jt\S"-(Z%1A\h'1z < !|S"lli-(T, JjZUAdz.a
Можно установить, что указанная оценка является точной, однако этот факт нам не понадобится.
2.3 Оценки интегралов по окружности Т
В этом параграфе будет показано, что отображение Ра0 о тг [ф] имеет медленный рост. Благодаря теореме 5 задача сводится к асимптотическим оценкам интегралов по окружности Т. Отметим, что в силу определения меры на окружности для любой интегрируемой функции / £ L^T) справедливо равенство J f(z)dz — ^ JQ f(ets)ds. В
частности, jf E"=i zk*dz = ^ /027Г|Е”=1 elhjSds.
1 f^ I ' I
Обозначим С = 27 yo ц + 1| ds. Тогда
I /*2тг ___________________ /*2тг
с = — /0 У(1 + cos s)2 + (sin s)2 ds = ± Jo 2cos2sds = £ < § < y/2.