Некоторые вопросы граничного поведения голоморфных функций

• Автор: Шишкина, Анна Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 100 с.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Д — круг {г : г < 1};

Уп — угол Штольца в Д величиной 2?7, Г] £ (0, тг/2), с вершиной в точке егв, 0 £ М (с. 20); ф Уг] — угол Штольца в области В величиной 2г], р £ (0,7г/2), с

вершиной в граничной точке £ (с. 21);

Вп — евклидов шар {г : ||г|| < 1} в пространстве С71;

— область Кораньи — Стейна с вершиной в точке ( (с.39);

— область Кораньи — Стейна с вершиной в точке е,а> 1 (с.39); фг{У) — автоморфизм шара Вп, г £ (0,1) (с.52);

Ап(С) — класс п-аналитических в области О функций (с.76);

Ап — класс п-аналитических в круге Д функций (с.76);

9ЛР((7) — класс функций, имеющих ограниченность порядка р в области С (с.77);

Шр — класс функций, имеющих ограниченность порядка р в круге Д (с.77);

В — класс функций Блоха (с. 77);

Во — малый класс Блоха (с.79);
фх(г) — конформный автоморфизм единичного круга Д, Л £ А
(с.78);
Д(Л,г) — круг фд(гД), 0 < г < 1 (с.78);
Т(г, /) — характеристика Неванлинны голоморфной в Д функции /(.г), 0<г<1 (с.80).

1 Обращение правила Лопиталя для голоморфных функций
§1. Постановка задачи и формулировки результатов
§2. Доказательства теорем 1.1 и 1
§3. Некоторые примеры применения полученных результатов
2 Обращение правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций
§4. Формулировки результатов
§5. Доказательство теоремы 2
§6. Доказательство теоремы 2
§7. Доказательство теорем 2.1 и 2
3 Граничное поведение полианалитических функций и их голоморфных компонент
§8. Некоторые определения и известные результаты
§9. Формулировки теорем и их доказательства
Литература

Изучению вопросов граничного поведения голоморфных функций посвящено большое количество монографий и статей. Среди многочисленных работ, опубликованных по данной тематике, отметим несколько наиболее важных на наш взгляд книг [8], главы 9, 10, [15—16, 19, 34, 50], а также некоторые статьи [7, 9—11, 17, 29, 35, 43, 46—47, 51] и [14].
Объектом исследования в данной диссертации является граничное поведение голоморфных функций одной и нескольких переменных в угле Штольца и в области Кораньи-Стейна, соответственно, а также изучение граничных свойств голоморфных в единичном круге Д = (г : г < 1} функций, имеющих ограниченность порядка р < 0, и, как следствие, граничных свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р < 0 в Д.
Один из вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, связан с проблеммой обращения известного правила Лопиталя, которое утверждает, что если функции /(х) и д(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а; Нш/(ж) = Ншд(ж) = 0 или оо; д'(х) ф 0 и существует предел отношения производных Нт (конечный или бесконечный), то

если же lim
SlaBZ—>£
dg(z) zkl
. dzkl g(z)m

= 0, то существует а < a такое, что df(z) zkl
n£j3z->f
. dzkl g(z)
= 0;
^ дэ(г) (6 - *•)
2. если значения функции — —— отделены от нуля при г —> £ в
9%)
то существует а < а такое, что
цш Ш1^ = А,
если же lim Qisz-*Ç

&а1эz-£ dg(z)/dzi
dg(z) (& ~ zi)
dzi g(z)
— 0, то существует a < a такое,

fîljSz—»£
df(z) (& - Zi)
= 0.
dzi g(z)
Следующая теорема 2.4 является обобщением теоремы 1.2 на случай п переменных.
Теорема 2.4. Пусть f(z), G(z) — голоморфные в Вп функции, Г2а — область Коранъи — Стейна с вершиной е и для некоторых натуральных ко, к <п существуют
dG(Zy

Cla3z—>ei
/СЮ-

ПаЭг—*еі
dzk о _ d2G{z) G{z)
— Ak0 Ф °°j
= Bkokl Ф oo,
тогда
1. если 2 < k < n и значения функции
dzkodzkl (dG(z)/dzko)2
dG{z) zkl
(2.9)
(2.10)
dzko G(z)
при z —> e в Г2а, то существует а < а такое, что
отделены от нуля

’df(z)
G(z)
■A-koBkaki >