Модули функций из модельных подпространств пространства Харди Н2

• Автор: Белов, Юрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с. : ил.

1 Введение и краткий обзор результатов
1.1 Модельные подпространства
1.2 Основные задачи
1.3 Структура диссертации
1.4 Предварительные сведения. Обозначения
2 Достаточные условия допустимости
2.1 Введение
2.2 Условия допустимости в терминах функции О
2.2.1 Предварительные замечания
2.2.2 Оценка производной аргумента произведения Бляшке
2.2.3 Условия допустимости для пространства Кд
2.3 Условия допустимости в терминах функции Г2
2.4 Условия допустимости в случае роста мнимой части нулей произведения Бляшке
2.5 Достаточные условия допустимости для произведений Бляшке с касательно расположенными нулями
2.5.1 Теорема о близких произведениях
2.5.2 Приложения
2.5.3 Функция Ад: доказательство равенства (2.5.7)
3 Необходимые условия допустимости
3.1 Введение
3.2 Предварительные замечания
3.3 Обобщенное преобразование Гильберта. Формула обращения

3.3.1 Формула обращения для оператора /ц
3.3.2 Некоторые оценки величины /ц(/)
3.4 Необходимые условия допустимости
3.4.1 Допустимость и оценки некоторых усреднений функции
3.4.2 Примеры
3.4.3 Произведения Бляшке В, подчиненные условию агц В £ Ьх (Р;)
3.4.4 Схема построения недопустимых мажорант
3.5 Точность необходимых условий
4 Модельные функции с почти предписанным модулем
4.1 Введение
4.2 Основные результаты
4.3 План доказательства теоремы 4.2.4: предварительные замечания
4.4 Доказательство теоремы 4.2
4.5 Условие регулярности: примеры применения теоремы 4.2
5 Свойства преобразования Гильберта липшицевых функций
5.1 Введение
5.1.1 Теоремы приваловского типа на прямой
5.1.2 Связь с теоремой Берлинга-Мальявена
5.2 Правильные функции с сильно колеблющейся сопряженной
5.2.1 Основной зуб
5.2.2 Подобное преобразование функции и ее сопряженной
5.2.3 Правильная функция / с неограниченной разностью Д1
5.2.4 Медленно растущие плохие функции
5.2.5 Устойчиво плохие функции
5.2.6 2-атомы
5.3 Некоторые критерии равномерной непрерывности сопряженной функци
5.3.1 Предварительные оценки
5.3.2 Результаты
5.3.3 Заключительные замечания о функции Jf
Литература

'Глава 1 Введение и краткий обзор результатов
1.1 Модельные подпространства
Любая внутренняя функция 0 в верхней полуплоскости С+ порождает подпространство Кв = Н2 0 QH2 пространства Харди Н'2 = Н2(С+). Подпространства Kq называются "модельными подпространствами". Нас будет интересовать поведепие модулей их элементов на вещественной оси М. Перед тем, как сформулировать ключевые проблемы в параграфе 1.2, мы собираемся рассказать о модельных подпространствах. (Отметим, что этот термин применим также к аналогичным подпространствам пространства Харди /У2(Ю) в единичном круге В, но мы будем рассматривать исключительно подпространства Я2(С+)).
Напомним, что пространство Л2(С+) состоит из функций /, аналитических в <С+ и таких, что
sup / |f(x + iy)2dx < -l-oo.
У>0 у*
Квадратный корень из этого supremum’a служит нормой функции /. Эта норма превращает Н2 в гильбертово пространство. У любой функции / € Н2 есть граничные значения /* п.в. на К,
f*(x) = lim f(x + iy), при и.в. ж € R. у—>+о
О тображение / I—> /* позволяет отождествить Я2(С+) с подпространством пространства L2(R), состоящим из функций с неотрицательным спектром:
Н2(Щ = {/ е L2(R) : /К-оо.О) = 0 п.в.},
где / - преобразование Фурье функции /. Мы не будем различать / и /*, Н2{С+) и Н2(Ж) и будем обозначать эти пространства стандартным символом Н2. Другой термин,

Замечание 3. Предположим, что функция / € С1 (К) возрастает. Тогда для любого х £ К
I [ log х — tdf(t)
I JЗх
где AjiSf - приращение функции / на интервале jx ö. Доказательство. Действительно,
< 2 max |/'| + (Aj J) ■ log((2 + й)|ж[),
[X—1,Х+1]
1/М/ +
-1,х+1]
= IЛ + ■/21Дал ее,
Ji < 2 max f' [ 11оки|(/и = 2 max f',
J2< [ log(|-T| + (1 + Sx))df(t) — log((2 + 5)|ж|) • (AjxSf).Q
*'Jx,ä[*-l,I+l]
3.4 Необходимые условия допустимости
Итак, мы готовы доказать основной технический результат этой статьи. Он дает необходимые условия ©-допустимости и выглядит несколько громоздко. Но, как мы увидим далее, он, тем не менее, является источником более естественных и даже точных условий допустимости. Мы возвращаемся к мероморфной внутренней функции 0 и положим для краткости А(= Aq) = arg 0.
Теорема 3.4.1. Предположим, что А £ T1(Pj) для натурального I > 1, а функция lj = е~п, где О > 0 Q-допустима. Тогда для любого 5 > 0 существует такая константа С(5,1), что
Q(x)
I = 1а = х

jt
A(t) I
|<|>|х| W(+1 ji J = • I l°g|'cll + sup A’ + |x|1_1 + 1,
[*—l,x+l]
ИЮ!1

-d,t,
(3.4.1)
Y2 los x - «л i,
М<(1+*)М
и вещественная последовательность {а*,} удовлетворяет условию card{k : |afc| < |ж|} < Дjx2SA + Ci|i| + C2 для некоторых констант C, Сг-