Операторы Шредингера и эллиптические операторы с коэффициентами-распределениями

• Автор: Нейман-Заде Мурад Искандер оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Введение

Гл.1. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

1. Определение суммы симметрических операторов .

2. Приближения операторных сумм. Резольвентная сходимость и сходимость спектров

3. Мультипликаторы в пространствах Соболева

4. Основная теорема и примеры

Гл.II. Исследование пространств М[Я“ —> Н~а

Гл.III. Сильно эллиптические операторы с сингулярными

коэффициентами

1. Обобщенная сумма секториальных операторов. Приближения операторных сумм
2. Определение и свойства пространств М[к, —I]
3. Основная теорема
Гл.IV. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами в ограниченной области
1. Задача Дирихле для оператора Лапласа и сильно эллиптического оператора, возмущенных сингулярными коэффициентами
2. Обобщенная задача Неймана и третья краевая задача

3. Асимптотика собственных значений операторов
Ад и Ал?
4. Свойства собственных функций операторов Ад и

Литература

Введение
Цель диссертации — корректно определить оператор Шре-дингера —А + д(х) в случае, когда д(х) есть обобщенная функция; точнее, выяснить, при каких условиях на q корректное определение возможно. Если оператор з^же определен, мы ставим дальнейшую цель изучения его спектральных свойств. Развиваемые нами методы оказываются применимыми для общих эллиптических дифференциальных операторов
Г = £ Оаса^х)Пр
а\0<т
в предположении, что I 6 Й С 1“, а коэффициенты саф — сингулярные функции. Точнее, мы будем предполагать, что коэффициенты главного символа (при а = |Д| = га) — существенно ограниченные функции, а неглавные коэффициенты (при |ск| + |Д| < 2т) являются обобщенными функциями.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой подробно разбирается частный случай Ь = —А + <3, Г2 ■= Ж”. Операторы такого типа появились в физических работах 30-х годов в связи с задачей рассеяния нейтральных частиц на ядре, когда взаимодействие является сильным на малых расстояниях и пренебрежимо малым на средних и больших (см. [1]). Модельным потенциалом такого взаимодействия является (5-функция Дирака.
Математическое исследование оператора —Д + ц5(х) было предпринято Березиным и Фаддеевым [2], Минлосом и Фаддее-вым [3], Березиным [4]. В работах [2, 3] оператор —А + цё(х) понимался как расширение оператора Го = —Ас областью V(То) — С'о°(Ж3 {0}). Эта тема вызвала большое число работ. В основном изучались сингулярные потенциалы, сосредоточенные на многообразиях и дискретных наборах точек. Укажем

Доказательство. Первое утверждение вытекает из определения. Действительно, если ц{х) £ Мр и г)(х) - гладкая срезающая функция, то
\ц{х)г}(х-г)\-а0 < \^\м-Ых-г)\а!р = Ым-Ы^)\а,р = СЦмЦм*,
где С — ||г/(ж)||а,р не зависит от г. Поэтому ц 6 ЯГ“^, и верна оценка (2.4). Пользуясь предложением 2.1, аналогично получаем Т ^ "^р',ишГ
Второе утверждение является следствием теорем 2.2 и 2.3. Согласно теореме 2.2 и вложению Н~а С Н~“п1£, оценка (2.5) влечет (2.3). Обратно, если выполнена оценка (2.3) идб то ц(х)г}{х - х) £ Яг-7 С М“ и
||ц(ж)д(ж - *)||м« < С||ц(;ф(:с - г)||_7>г.
Таким образом, |||^|||аг“ < и (2.5) вытекает из теоремы 2.3. Теорема доказана. □
Согласно теореме Стрихардса (см. [28] или [20, п. 2.2.9]), пространство мультипликаторов М[Я“ -> Я®] совпадает с Дрипц, если выполено условие а > п/р. Полученное ниже утверждение можно считать аналогом этой теоремы для мультипликаторов в дуальных пространствах.
Теорема 2.5. Пусть а > п/р. Тогда пространства М[Нр —» Н~а] и ДТТ£ совпадают, и нормы в этих пространствах эквивалентны.
Доказательство. Так как пространства М/ и М/, изоморфны, достаточно рассмотреть случай р = р > 2. Вложение Мр С Н~°п.г с оценкой норм для всех а > 0 и р > 1 доказано в теореме 2.4. Чтобы доказать обратное включение, в соответствии со вторым утверждением теоремы 2.4, достаточно проверить неравенство (2.3) при у = а и г' — р.