Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости

• Автор: Зыкова, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Интегралы Меллина-Барнса и алгебраические
уравнения
1.1 Одномерные интегралы Меллина-Барнса
1.1.1 Условия сходимости
1.1.2 Множество сходимости интеграла, представляющего решение триномиального алгебраического уравнения
1.2 Многомерные интегралы Меллина-Барнса
1.2.1 Область сходимости
1.2.2 Интегральное представление главного решения общего алгебраического уравнения
1.2.3 Множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения
1.2.4 Тетраномиальное уравнение
1.2.5 Пентаномиальное уравнение
Глава 2. Интегралы Меллина-Барнса и полиномиальные
системы
2.1 Каноническая приведенная система полиномиальных
уравнений
2.2 Замена переменных и линеаризация системы
2.3 Степень отображения Ф|м

2.4 Преобразование Меллина мономиальной функции
2.5 Множество сходимости интеграла, представляющего функцию
Приложение
П.1 Многогранники и многогранные конусы
П.2 Общее алгебраическое уравнение
П.З Преобразования Меллина
П.4 Степень отображения
П.4.1 Собственное отображение
П.4.2 Определение степени отображения
П.4.3 Степень и интеграл
П.4.4 Форма Пуанкаре
Заключение
Список использованных источников

Введение
Интегралы Меллина-Варнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее X. Меллин [1], [2] развил их теорию, а Е. Барнс в серии статей [3-5] разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами. Асимптотическое поведение интеграла определяется структурой особенностей подынтегрального выражения, в частности, гамма-функций.
Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. В недавней работе Ф. Бёйкерса [6] они применяются к вычислению группы монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики [7].
Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано X. Меллином [8] в работе 1921 года, где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было

Рис. 1.2. Шестиугольник Р : р = 2, п < 2«а.
При условии п = 2П2 угловая проекция интеграла (1.19) есть прямоугольник без вершин: А (—-кщ/п, тгщ/п), Аз (кщ/п, —тгпя/п), Л'2 (тгщ/п, 7ГП2/п) , А4 (— тгп/п, — 7г?г2/п) (см. Рис. 1.3). При условии п > 2п2 прообразы вершин Ах (—ттг/п, 7т2/п), А3 (тгп/п, — -кп-г/п) входят в множество сходимости (см. Рис. 1.4). Теорема 1.3 и Теорема
1.1, доказанные в настоящей главе, обобщают эту ситуацию.
Рис. 1.3. Прямоугольник Р : /7 — 2. 7« = 277-2.