Интегральные и обобщенные фреймы

• Автор: Захарова, Анастасия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 54 с.

Содержание
Введение
1 Интегральные фреймы, их свойства
1.1 Интегральные фреймы, двойственные к ним фреймы,
экстремальное свойство
1.2 Аналог теоремы Рисса-Фишера
2 Обобщенные фреймы, их свойства
2.1 Примеры обобщенных фреймов и их основные свойства
2.2 Об измеримости обобщенных фреймов
2.3 Экстремальное свойство обобщенных фреймов
3 Трансобобщенные фреймы
Список литературы

Введение
Обзор предшествующих результатов
Пусть Н — гильбертово пространство над полем К или С. Фрейм был впервые определен в работе [8] с целью изучения свойств экспоненциальных систем {егЛп*}п€К, Ъ £ [—7,7], причем определение было сформулировано как для частного случая экспоненциальных систем (так называемых фреймов Габора), так и для общего случая систем в гильбертовом пространстве. После этого фреймы долгое время не встречались в исследованиях, за исключением работы Юнга [6]. Фреймы обладают многими свойствами ортонормированных базисов гильбертова пространства.
Рассмотрим множество индексов К, не более чем счетное.
Определение 1. Система {<рп}п<£К С Н называется фреймом, если существуют константы а,Ь, 0 < а Ь < оо, такие что для всех д 6 Н

а II 9 ||2< {д,Ч>п)2 Ь || д ||2

Если выполнена только оценка сверху, то система называется бесселевой.
Числа а и Ь называются границами фрейма. Они не единственны. Точная нижняя грань множества всех верхних границ Ь (точная верхняя грань множества всех нижних границ а) называется соответственно оптимальной верхней (оптимальной нижней) границей фрейма. Если возможно выбрать границы а и Ъ так, чтобы а = 6, то фрейм называется жестким, константа
а — его границей. Если при этом а = Ь = 1, то фрейм называется фреймом Парсеваля.
Фреймы обладают большинством свойств ортонормированных базисов гильбертова пространства. В случае жесткого фрейма для всех х Е Н имеем

X К*»»»)!2 = а II * Н2>

откуда, используя тождество
(х>у) = (\х + у\2 - И-уН2) для всех х,уЕН,
для случая, когда Н рассматривается над полем К или тождество поляризации
(х,у) = (||х +у\2 - ||х - у\2 + г\х + гу||2 - г\х - гу\2) для всех х,у Е Н,
для случая, когда Н рассматривается над полем С, получим, что для всех х,у Е Н

а{х,у) = У(х,<рп)(уп,у),

а значит, для всех х Е Н в слабом смысле выполнено равенство

х = а~1'2(х,(рп)(рп.

Последняя формула похожа на разложение элемента по ортонормированному базису. Однако фреймы (даже фреймы Парсеваля), вообще говоря, не являются ортонормированными базисами. В качестве примера рассмотрим гильбертово пространство Н — С2 ив нем векторы
<п = (о. у|) И - (-75) и = (тг-)

двойственного к обобщенному фрейму, в частности, канонического двойственного фрейма. Для этого рассмотрим последовательность операторов Тп, действующих из Нп в Ь2{0) следующим образом: (Тп/)а> = (/, Ъ~1 Ы < (Т*Г„)-1 а“1 Ы
и получаем систему {Фп}шеп = — канонический двойственный
фрейм для в пространстве Нп, где ДД = (ТТ„)-1. Заметим,
что 5'“1 — самосопряженный оператор (как ограниченный обратный к ограниченному самосопряженному оператору 5'п), и для любого уп = Рпу € Нп найдется х„ = Рпх £ Нп, такой что уп = 8~1хп, причем единственный. Поэтому для любого у £ Н существует х £ //. такой что
(у,Тп) = (У,Рп<Рп) = {рпУ,Рп) = РпХ,
= (РцЯ, 57 V") = (я, = (ж,
Таким образом, последовательность (у, также сходится в Т2(П) к
некоторой функции у(сг) для любого у £ Н.
Сформулируем и докажем формулу разложения элемента из гильбертова пространства по системе, являющейся обобщенным фреймом в этом пространстве, а также вытекающий из нее аналог формулы Парсеваля.
Утверждение 1. Пусть — обобщенный фрейм в Н, п
— двойственный интегральный фрейм к в пространстве Нп для
каждого п. Тогда для любого у £ Н
у= Ит [(у,т/£)¥>пФМ,
?г—>оо у Г!