Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле

• Автор: Латыпов, Ильяс Дамирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 106 с.

0.1 Исторические сведения
0.2 Предварительные результаты и постановка задач
0.3 Содержание главы
0.4 Содержание главы
0.5 Содержание главы
0.6 Вспомогательные факты
Глава 1. Асимптотика логарифма максимального члена измененного ряда Дирихле
1.1 Доказательство теоремы
1.2 Доказательство теоремы
Глава 2. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых
2.1 Доказательство теоремы
2.2 Доказательство теоремы
2.3 Доказательство теоремы
2.4 Доказательство теоремы
Глава 3. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера на вещественной оси
3.1 Доказательство теоремы
3.2 Доказательство теоремы
3.3 Доказательство теоремы
4. Список литературы

0.1 Исторические сведения
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в произвольных областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э.Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.
В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тин целой функции через коэффициенты Тейлора |1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).
Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями A-порядка и А-типа, которые были введены Ж. Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [5].
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10].
В конце 60-х годов М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [11|. Позже в терминах A-порядка и A-типа рост рядов

Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован А.М. Гайсиным в работах [12]-[16], а также в. работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокпвекого [17], [18].
В начале 20 века А. Вимап и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана-Валиропа, для изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения и ее производных в окрестности точки максимума модуля. Метод Вимана-Валирона позволял решать следующие задачи теории аналитических функций: исследование
асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.
В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были продолжены многими математиками. Метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см. [20]) не позволили решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Поэтому в теории лакунарных степенных рядов, тем более рядов Дирихле, долгое время оставались нерешенными многие проблемы. После исследований А.Ф. Леонтьева [21]-[24] сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали активно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, в [23]-[25]). И в настоящее время представляются
Здесь х— решение уравнения р(а) = а {£у} —
последовательность, фигурирующая в условии (1.5). Отсюда следует, что ца) < р(сг), если <у > о2,о <£ Е2. Следовательно, из (1.8) получаем, что при а —> оо вне Е2
Л(а) <
то есть
(1 + о(1))1пдДп) < 1пд((т). (1.10)
Рассмотрим последовательность {тф}, где {т-} = тт(т;,.т?). Поскольку tJ = р(.х';) — ?;(г;), то из оценок типа (1.3) получаем, что
Следовательно, если Е = Е и Е2, то, учитывая (1.6),(1.9), при г* —> оо получаем, что
тпсвіЕ П [0, т.*]) А
— — < т— {тез(Еі П [0, тф + тев(£2 П [0, ж,])) <
Ту ш

1п І3
о(1п £у) + 8
о( 1).
Таким образом, из (1.7),(1.10) окончательно получаем, что при сг —> оо виє Е, с!Е = О,
1пц(сг) = (1 + о(1))1п/Д(ф).
Достаточность доказана.
Необходимость. Условие (0.23) равносильно предложению : существует функция <р Є Ж, такая, что при (п > М)
1)|6„| < 2)Ьп~1 < е^Ч