Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием

• Автор: Моржаков, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 107 с.

ГЛАВА 1. Исследование мультипликаторов множеств комплексной плоскости
§1.1 Вспомогательные определения и результаты
§1.2 Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости
ГЛАВА 2. Представление классов линейных операторов в односвязных областях
§2.1 Вспомогательные определения и результаты
§2.2 Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора
ГЛАВА 3. Решение линейных операторных уравнений конечного порядка
§3.1 Решение линейных однородных операторных уравнений п-го порядка
§3.2 Решение простейших неоднородных операторных уравнений
§3.3 Резольвента оператора обобщенного дифференцирования
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Классическое дифференциальное и интегральное исчисление является, в частности, инструментом решения дифференциальных уравнений. Последние составляют небольшой класс функциональных уравнений, встречающихся в различных областях естествознания и технических приложениях математики.
Обычно, каждый достаточно широкий класс функциональных уравнений для изучения вопросов разрешимости требует развития нового математического аппарата. Характерным примером, подтверждающим эту мысль, является введение в 1951 году в работе А. О. Гельфонда и А. Ф. Леонтьева [14] понятия операции обобщенного дифференцирования. Оно возникло из предыдущей работы [13] первого из авторов по разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка с помощью рядов Дирихле и предыдущей работы [25] второго автора по изучению обобщений таких рядов - рядов обобщенных экспонент вида о„е(А„г). И если
первые ряды можно рассматривать как разложения по собственным функциям операции дифференцирования, то идея авторов состояла в том, чтобы ввести оператор Л, для которого е(Аг) является собственной функцией: Ле(Аг) = Ае(Аг).
В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых

фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её использование в других областях чистой и прикладной математики
([14])-
Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования : его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Ю. Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [6].
Обозначим через Я((3) пространство голоморфных в односвязной области О функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из Н(в) в Н(0), который на системе степеней {г} в Я(О) имеет соответственно вид :
Яг” = п € N. В1 := О,

Поэтому
где г 6 <3„ и |<| > Ллг+1- Аналогично, ряд ф(£) = сходится в
окрестности начала координат и к(*, г) является аналитическим продолжением функционального элемента Л (|) в области <5^, х С С х С, п € N. Если 0 ^ О, то в силу равенства ф (|) = функция Ф(С) должна
иметь нуль не ниже первого порядка в точке £ = оо.
Достаточность. Аналогично предыдущему пункту по теореме о монодро-мии для функционального элемента |ф (|), г — го| < е, |4| > получаем, что аналитическое продолжение является локально аналитической функцией на С х 3) Необходимость. Аналогичными рассуждениями получаем
Достаточность. Аналогично, аналитическое продожение элемента г — Z(^ < е, |<| > порождает локально аналитическую на в' х в функцию. Линейный непрерывный оператор ядром которого будет это аналитическое продолжение, является диагональным, так как
90^+1
откуда