Индефинитные функции Каратеодори. Интерполяционные свойства

• Автор: Лопушанская, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с. : ил.

1 Преобразование Шура для функции Каратеодори
1.1 Классическое определение преобразования Шура
1.2 Алгоритм Шура для функции Каратеодори
1.3 Проблема интерполяции
2 Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори
2.1 Пространства Понтрягина с воспроизводящими ядрами
2.2 Матрица Пика
2.3 J-унитарные матричные функции и пространства Р(в)
2.4 Обобщенная функция Каратеодори
2.5 Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори
3 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори
3.1 Предварительные сведения и постановка задачи
3.2 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори в специальной области
Литература

В начале двадцатого века И. Шур опубликовал две работы (см.[54, 55]), где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге. Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура: по заданным комплексным числам со, <д сп найти функцию
являющуюся аналитической в круге г < 1 и ограниченную единицей: |в(>г)| ^ 1. Такую функцию позднее назвали функцией Шура. Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан на идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура. Дробно-линейное преобразование
называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение к функциям Шура и есть указанный алгоритм. Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов [53],[46]. Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура.
В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс

ф) = X + X!
.7=0 1-п+1
обобщенных функций Неванлигшы. Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К. Шамфи [35] и Д. Дуфресной [45], а также в монографии М.Г. Бертин, А. Декомпс-Гьюлокс, М. Грандет-Хьюгот, М. Пасиаукс-Делефоссэ, Д. Шрейбер [31]. Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д. Алпай, Т.Я. Азизов, А. Дайксма, X. Лангер [20, 21, 22], в их совместных работах с Г. Ваняла [23, 25]. Большое внимание этому же вопросу уделено в статье Е. Депретер, П. Девилд [39],Т. Ваняла [56], Т. Копстантинеску [36], в его совместной публикации с А. Геондэ [37] и с М. Баконый [30], а также в совместных работах Д. Алпая и X. Дыма [13, 17], Р. Акнер, Г. Лев-Ари, Т. Кайлас [12]. Введение алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д. Алпая, А. Дайксмы, Г. Лангера [26, 28, 24], их общей статье с Ю. Шондиным [29] и А. Лугер [42], статье М.С. Деревягина [40, 41].
Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств. Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори. При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга щ положительной, отрицательной или нулевой. Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами (напр. [19]), связанные с обобщенной функцией Каратеодори. С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори.
Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нее; опреде-

Докажем, что для функций Ц, 3 > 0 верно следующее рекуррентное соотношение:
( 0
/Дщ ю) = — ' ' + щ). (2.5.1)
1 — 1 — гго*
с помощью метода математической индукции.
1. Проверим верность равенства (2.5.1) для j = 1.
,, . 8, (/'(«-)•) . (/(«О*)
= д—/о (г,«))
дно* ’ 1 — гг/;* (1 — гш*)2
1 — гт* 1 — гт*
2. Допустим, что соотношение (2.5.1) справедливо для j — к, то есть
, , . 0№)М7 кг Л(г'”)
3. Требуется доказать верность равенства (2.5.1) для у = к + 1:
, , . (/<*+1)М‘) (* + 1)г . .
/мЦМ = + ТТ^Л7’»)'
Его левая часть имеет вид:
( 0 ) ( 0 )
а /(*+1>(«»)*У V/(ЧН7
Д+1(щ «») = «,) = -Ц-+ г У % +
дгс* 1 — ггн;* (1 — .гго*)2