Спектральные асимптотики и регуляризованные следы некоторых дифференциальных операторов

• Автор: Садовничая, Инна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение
Глава
Глава
Глава
Список литературы
Введение
Многие задачи гидродинамики, квантовой механики и квантовой химии требуют детального изучения спектра, базисных свойств собственных функций и других спектральных характеристик дифференциальных операторов. Важной спектральной характеристикой являются формулы регуляризованных следов, приобретающие в последнее время все большее значение в связи с их применением в приближенном вычислении первых собственных значений оператора.
Основы спектрального анализа дифференциальных операторов были заложены Штурмом и Лиувиллем при изучении уравнения
-у" + д{х)у = А у.
Функцию q(x) обычно называют потенциалом, а А О С — спектральным параметром. Идеи и методы, используемые при исследовании уравнения Штурма-Лиувилля, находят применение в обшей спектральной теории дифференциальных операторов.
Хорошо известны асимптотические разложения решений уравнения Штурма-Лиувилля по спектральному параметру А при А —>
оо. С помощью этих разложений получена асимптотика больших собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Асимптотические ряды для решений, как правило, расходятся. Так. из результатов А. 0. Кравиикого и В. Б. Лидского [1] следует, что если (](х) = —хт. т £ N. то асимптотические ряды для решений уравнения Штурма-Лиувилля расходятся при всех А, отличных от нуля. Описание класса потенциалов, для которых асимптотические ряды сходятся, до сих пор не получено, имеются лишь отдельные примеры потенциалов, при которых такая сходимость имеет место. Однако и расходящиеся асимптотические ряды можно использовать для приближения решений при заданном значении А.
Первая глава диссертации посвящена обоснованию метода приближения решений уравнения Штурма-Лиувилля аеимптотичес-
ими рядами. Основные результаты первой главы заключаются в следующем. Пусть на отрезке —а < х < а, а > 0, задано дифференциальное уравнение
-у" - Я{х)у = >?У, А > 0.
с потенциалом 4(х), аналитическим в 0(р, [—а. а,]} -—р-окрестности отрезка [—а, а], состоящей из всех точек, расстояние от которых до отрезка меньше, чем р. Решения этого уравнения уо(х,Х) и Ух(х,). удовлетворяющие начальным условиям
'Уо(0- А) = 1, у'0(0, А) = 0. У1(0, А) = 0, у,1(0,А) = Аг,
разлагаются в асимптотические ряды при А -у +оо:
коэффициенты которых вычисляются по рекуррентным формулам Вд.о(х) = Вол(х) = 1:
В„+1.у(х) = В'п](х) + (-1)"+'В^(0) + / уЩВп^) <И.

Введем следующие обозначения: Мд —

А) — погрешность при прибли?кении решения уу п-й частичной суммой асимптотического ряда. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.2 Пусть функция ффг) аналитична е 0(р, [—а. а]) и следующая норма конечна
( N 4~ 1) л / /V + 4 Н- ^
Далее, несложно видеть, что----------------------—---------------------< /N + 4 для

любого числа N, большего нуля. Значит,
(ЛГ+-4 VN+^
a‘V < eN+4(2p)N+1 <
_ (2pA)iV+4v/27T(2pA)2 _ fyy-(2рА)г
щ^1(2рА)я+1 “ ^ е2^ '
Следовательно, при ДА = N(А) = [2рЛ] - 4, мы имеем следующую оценку погрешности
max пах |y:.v,;( хЕ[—a,a] J=0,
< ^VbraM(2p + 2)3,5exp + Мре — 2рА^ . (1.20)
Так как правая часть (1.20) с ростом А только уменьшается, мы можем написать:
sup max max|<рдуДд, x. rj) <
i/>A ^€[-e.e)l=0.
< V2naM(2p + 2)3,:,exp ^ + Mpe — 2pX^j .
что и составляет утверждение теоремы.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Матье
—у" + ay cos 2х = А 2,у
на отрезке [0,7г]. где а — вещественный параметр. Заменой гг =

х — — приведем его к уравнению
—у" — ay cos 2z = А "у, z £
7Г 7Г

Вычислим Mq и Mi для потенциала q[z) = a cos 2гг. I О
Mq = пшх{ J а| cos 2гJ а| <:он2гт|Фг:} = а.