Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле и их приложения

• Автор: Каримова, Мухаббат Мамуровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1993
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 265 с.

У ;V; вввдёнйе, -В
В диссертационной работе - дано ' изложение теории тауберовых ссорам с: остатком для кратных общих рядов Дирихле, также их приложения.' Тауберовы теоремы или теореш тауберова типа появились е связи с теориейсуммирования расходящихся рядов.
Никакой метод не в силах суммировать слишком' быстро расходящиеся; ряды йш слкщкоы медленно расходящиеся ряда. Теоремы, в которых 'сгущастьляетсй этот принцип, называются теоремами тауберова типа.
.Б 189?' году математик из Вены А.Таубер [51] -утверждая ,
• что если ряд . ' П

У Qm ocm -f (х)

сходится- при j X [ < 1
tlm f (x)

И . ". :
mQn— о m
to / Qm сходится к S
. ’ЧР ' ; ' '-V V' :--п '-у-1 ' .УУ ' yyi::yy
Прямое обращение известкой теоремы Абеля о непрерывности
степенного ряда:
если > Qm сходится к S , то
т~о ' У- ;
си* ‘
Elm У ат хт
X - i -о ~—
гп=о
не всегда верно. Оно верно лишь при определённых ограничениях,
накладываемых на общий член ряда, т.е. , при выполнении так на-. д-ьшаешх некоторых тауберовых.условий. Условие m 3m->-0 называется тауберовым.

Теорем,! где пс заданной асимптотике ряда агаХп при X— 1-0 находится асимптотика

у am,
- , П

при определённых тауберовых условиях называются тауберсвыми теоремами для'.--'.степенных рядов.

. Теоремы, где по заданной асимптотике У dm е Afn О

находитея аскмптотика

*m*-x
прк определённых тауберовых условиях называются теоремами теубеу-реза тила для общих рядов Дирихле.
Б 1907 году таубероза теорема для общих рядов Дирихле была доказана Ландау [Зо] : если

F(o-) - ат,е‘>""0'

сходится при СГ> 0 , йщ - вещественны
У5, о т + 1 > 1 т —00 при т — >
F(сг) —S при сг-— +о (Л)
/' т тн
Ат ' J ’
ТО ряд > ат СХОДИТСЯ к S

Тауберово условие (3) тем сильнее, чем медленнее А

-1-ї:
m ' . ' .если m = m
Ч'Жіодт) .если, Xm — togm.
6 дЛО году литтльвуд [34] доказал теорему предодущую, заменив условие (3) , условием

Г) ( А т ~ т-1 і
0тО V Ат 7 . п М) :
З 1914 телу Харди и Литтльвуд доказали [&9] теорему, ..Ландау, заменив условие (-3) односторонним тауберовым условием
& ГГ, > ~ о Ат’ Ат-1 Ат > у '.';д;
Причём А ГП +1 ~ Ат ; 7 (6)
Литтдьзуд ,в [Зб]: указывает, что теорема его - верка к без уело-вия (6)7 Однако, -доказательство этого момента в 1978 году опуб- 7-лкковал впервые Ананда-Рау ' [й] . Пример , показывающий необходимость условия (6). при доказательстве теоремы с условием (5) принадлежит ..Ананда-Рау [3] . В 1979 году 0,510.51 І7Й?]
-к .Анаида-Рау [з] доказали,что если

У ате'ЛпіСҐ ~ -ІЗ-; >0, ат5= 0 ;
пт-о
то А.гп необходимо удовлетворяет условию (б) . Это условие играет существенную роль при получении тауберовых теорем с остат-.ком. Ь 1936 году 0. 5Ей52 [об] доказал: если
ат8“КтСГ —Б, <г —- + о ,

-.выполнено’ (б) и 7 -7x77 'л7л V 7 7л. ууу.бб;-
С 1т ато , (у)
«со Щ ОО

ТО ряд у ат СХОДИТСЯ Я. 5 АПТ.У-у.
тДо - 77 . 7л. 7 :; л
•«та.- теорема, содержит б себе теорему - Харди-Литтльвуда [59] ,
поскольку условия (5) и (6) влекут (7)
В ... х.9*іб году гадааг.опал [37] доказал теорему-і.с суммиро — ваяием Рис-са первого порядка: если
'77 о-;.;у’. “
ка Й и д(а,у)=0 при а>п или д(х,с)-0,у=с, то д(х.у) € Н *
Т е о р е м а . Если одна из функций |(х,у) или д(х,У) принадлежит. Н .на'-' й , в то время как другая непрерывная к ограниченной вариации на й ,-интегралы;
5 5 | (зс,у) йд(зс,у)г 5 5 д(х,у) (!-[ (х:у )
ас. ас
•существуюттогда имеет место формула интегрирования по частям
в 7.7;
5 5 | <х-уд.(х>у):'--:||Ь)9(Ь,й)-;| С а, с1) д (а, с!) - -р (Ь, с) д (о7с>
а с , _ - 77,..' ,7.7 ;.;и'У7777. .'7-.' 7,;.7У . --.у у

. + у(а,с) д(а,с) + д(х,с) йЦж.с)- 5 д (х,й) (ос,а) + ;
"» а а
С с! Ь й
+ 5д(а,д)Д(а,з)-5д(Ь,и)й((Ь.у)+ И д(х,у) сД(а,у)
с с ас
В частности,, если функция |(х,у) непрерывная и имеет непрерывные частные производные
?х (?,у) , |у(х,у), [ ху 7Х,у)
на й и если функция д(сс,у) -ограниченной вариации,
причём у (а,у) = д(х,с) = О
для V ос,и
: . V*
’А10 [ 7.'- - " : ’ ' ;. 7. ; ' -.'-7.. ' '
Ь с! Й
5 5 {(х,у) ад (х,у) = |(&,с1) д СЬ.с!) — д(х,с|) ДЦу) йх-
а С а
г 7 Ь С;
- ГэУ'Я) Та (ь.у) Йу + 5 I д(*,у) |хДх,у)с1хс1у . (*)
с . ас
Если интегралы--У; 77>7'7:77 у 7..;у;7