Метрические характеристики исключительных множеств и теоремы единственности в теории функций

• Автор: Эйдерман, Владимир Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 192 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

§0.1. Цель работы и ее актуальность

§0.2. Краткое содержание работы и научная новизна

ГЛАВА I. Емкостные и метрические характеристики

ограниченных множеств. Оценки потенциалов

§1.1. Некоторые функции множеств

§1.2. Мера Хаусдорфа и обхват симметричных обобщенных

канторовых множеств

§1.3. Емкость Ск{Е) симметричных обобщенных канторовых множеств

§1.4. Емкости 7+и 7 плоских канторовых множеств

§1.5. Построение т-мерных канторовых множеств по заданной измеряющей функции
§1.6. Оценки потенциалов с положительными ядрами
§1.7. Соотношения между внешней емкостью и /г-обхватом
по Хаусдорфу
§1.8. О точности теоремы Фростмана
§1.9. О различии между мерой Хаусдорфа и емкостью
§1.10. Емкости 7, 7+и мера Хаусдорфа
ГЛАВА II. Оценки (-субгармонических функций вне
исключительных множеств
§2.1. Оценки типа Картана -субгармонических функций
ограниченного вида в шаре
§2.2. Оценки (1-субгармонических в шаре функций с произвольно растущей характеристикой
§2.3. -субгармонические функции в шаре: случай
Р(г)(1-г)т~1 >с>0
§2.4. Случай /[(1 — Цт_2Р(ЦТ„(<)]_1с1п2(Ц < оо. Функции
ограниченного вида
§2.5. Контрпримеры
Typeset Ьу
ГЛАВА III. Некоторые классы -субгармонических функций с “правильным” асимптотическим поведением
§3.1. Понятие функций вполне регулярного роста и его обобщение
§3.2. Два класса исключительных множеств
§3.3. О существовании исключительных 12д-множеств
§3.4. О существовании исключительных С-множеств
ГЛАВА IV. Теоремы единственности
§4.1. Обзор теорем единственности для аналитических
функций в круге
§4.2. Теоремы единственности для -субгармонических
функций в шаре
§4.3. Функции ограниченного вида
§4.4. О сумме значений функций из некоторых классов на
последовательности точек
§4.5. Об убывании аналитической в полуплоскости функции
на последовательности точек
§4.6. Применение к задаче аппроксимации с учетом величин
коэффициентов аппроксимирующих полиномов
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Цель работы и ее актуальность.
1. Цель работы. Основной целью диссертации является развитие метода, позволяющего получать точные метрические характеристики “исключительных” множеств, возникающих в различных вопросах теории потенциала и теории функций: аналитических, субгармонических и некоторых других. (О каких именно исключительных множествах идет речь, сказано ниже в п.п. 2 -5.) Составная (и наиболее трудная) часть этой проблемы - развитие техники построения контрпримеров, иллюстрирующих точность получаемых результатов. Мы ставим своей целью также развитие метода получения новых теорем единственности для аналитических и субгармонических функций, основанного на оценках их поведения вне исключительных множеств. Применение развитого аппарата позволяет не только рассматривать более общие постановки конкретных актуальных задач, но и в случаях, уже изучавшихся ранее различными авторами, получать более точные результаты.
Приступая к описанию направлений и задач данного исследования отметим, что во введении мы приводим лишь очень краткий обзор работ предшествующих авторов, никак не претендующий на полноту. Более подробное изложение известных результатов с полными библиографическими ссылками дается в основной части работы при рассмотрении соответствующего вопроса.
2. Исключительные множества. Как уже было сказано, множества, являющиеся в некотором смысле “исключительными”, возникают во многих вопросах теории функций. Сюда относятся, например, множества, вне которых функция того или иного класса имеет правильное асимптотическое поведение (целые функции вполне регулярного роста, введенные Б. Я. Левиным и А. Пфлюгером - см. монографию Б. Я. Левина [1], или субгармонические функции различных классов - Ж. Лелон-Ферран [1], М. Эссен и Г. Джексон [1], В. С. Азарин [1]-[4], С. Ю. Фаворов [1]—[2] и др.); а также множества устранимых (соответственно, неустранимых) особенностей аналитических или гармонических функций (из очень обширной литературы отметим здесь книги Л. Карлесона [1], Дж. Гарнетта [2], С. Я. Хавинсона [5], У. Хеймана и П. Кеннеди [1], П. Маттилы [2]); возникают исключительные множества и в ряде других вопросов.
3. Емкостные и метрические характеристики. Широкое проникновение в теорию функций методов теории потенциала началось с фундаментальных работ Ф. Рисса [1], установившего в 1926-1930 г.г. представление субгармонической в области В С Кт, т > 2, функции и в виде разно-
Typeset Ьу
Заметим, что при (х,у,г) £ Sk,j, к < п, будет Л(х,у,г) < М1к, где М = М(А). Это следует из того, что Л < 1/3. Назовем квадрат Ек,] уравновешенным, если в нем найдутся такие три квадрата Ек+1Для каждого из которых а*+1,« > 0.01«*. Квадраты Еп, j = 1
Пусть теперь квадрат Ек не является уравновешенным. В него входят четыре квадрата Ек+1,г- Выделим тот из них, причем только один, для которого величина ак+1 максимальна, и обозначим его через £,;с+1,др. Покажем, что
Действительно, не менее чем два из четырех квадратов Ек+г+, входящих в Ек,], имеют массу а,к+1,{ < О.СПа-. Поэтому на остальные два квадрата ТД+ц; из Ек,] приходится масса, не меньшая, чем О.ЭЗа*,, откуда и следует (1.4.15).
Таким образом, каждый неуравновешенный квадрат входит в цепочку вложенных квадратов, и притом только в одну:
где кг+1 = кг + 1, jt+l = г(у'г), t = 1,2
/// кДх!9Р)(1,ЛМЛ<г>>С!Тг (1А14)
«*+!,.(» > 0.49а*
(1.4.15)
Екр,зР С Екр_ 1рр_, С С Ек1,]1,
В последнем неравенстве мы воспользовались соотношениями
Объединяя (1.4.14) и (1.4.16), получим (1.4.13). Заметим теперь, что
1 < к < п.