Дробные В-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Берштейна для В-производных от четных j-многочленов Шлемильха

• Автор: Санина, Елизавета Львовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 118 с.

Оглавление
Введение
1 Ряды по четным-нечетным j функциям Бесселя
1.1 Ортогональность системы ЧСТ11ых-печетлых ]-фуIIкций Бесселя
1.2 Ряды Фурье-Бесселя и Дини
1.3 Гладкость, В-гладкость функции и порядок убывания коэффициентов
1.4 Ряды Шлемильха по ффункциям Бесселя
2 Дробные В-производные Маршо-Вейля фбесселевых разложений
2.1 Основные свойства обобщенного сдвига в классе четных локально интегрируемых с весом функций
2.2 Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо
2.3 Преобразование Ганкеля дробной В-производной Маршо
2.4 Дробные В-производные Вейля
2.5 В-интегрирование дробного порядка
2.6 В-интегрирование Вейля дробного порядка
2.7 В-ядро Дирихле
2.8 О равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя
по функциям Бесселя
2.9 Функциональные классы Липшица, порожденные обобщенным сдвигом
2.10 Теорема о совпадении В-производных Маршо и
Вейля на функциях из

3 Неравенство Бернштейна для В-производных
четных многочленов Шлемильха
3.1 Интерполяционная формула для В-производной
четного фмногочлена Шлемильха
3.2 Неравенство Бернштейна для В-производной фмногочлена Шлемильха
3.3 Неравенство Бернштейна-Зигмунда в классе
функций 7Г, 7г)
3.4 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных .рбесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций
3.5 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо фбесселевых многочленов Шлемильха
в пространстве
Литература

Введение
Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками. К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференци-рование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисс, Грюнвальд, Летников, И.А. Киприянов, П.И. Лизоркин, С.Г. Самко, A.A. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вейля выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.
В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя + £±1 р>—1/2. При-
меняются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j-функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно называются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, на функциях из пространства Соболева-

-х+'вр-'иХх) ?'(х)\ + ['ВилХх))Ох(;"(х))Лх

= / в™~13р(х) {ВО/) (ж) ж2р+1 (1х

Аналогично преобразуется и второй интеграл:
= £ А* {х2р+1 ОхВ™~1 /р(х)) М <1х=
= ж2р+1Рх5-р(А)
- f x2p+1 DxBl~1jp(Xx) D
/0*0

Исходя из условия теоремы имеем lim ВО — /'(0) = 0, следовательно

(2р + 1)
= - f1 x2p+1 DxB™~1jp(x) Dx Jo
fix)

= —ж2р+151_1р(Лж) Д,
/(ж)

jf B™~1(jp(x)) Dx ж2р+1 Д

Имеем
lim Da
x—>0
70*0' = lim 7'(ж) /(ж)'
ж х—>0 ж ж2
= П0)-ЪшМ-
x->0 Ж
Это выражение по крайней мере (т.е. при т = 1) равно некоторой постоянной (< оо), поэтому

(2р + 1)
= / бг_10р(Ах))5 Jo
fix)

Ж2р+1 с2ж
Возвращаясь к началу нашего доказательства, получим
Ьп 2 (-1У
Al A2m+1
J В™ 1jp{Аж) (БД /) (ж) ж2р+1 <2ж+