Линейная эквивалентность некоторых интегродифференциальных операторов высших порядков

• Автор: Игнатьев, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Решение интегральных уравнений с ядром, однородным степени
§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов
§2. Представления для решений интегральных уравнений с я.о.с
Глава 2. Линейная эквивалентность интегро-дифференциальных и интегральных операторов дробного порядка с особенностью
§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов
§2. Существование и свойства собственных функций
§3. Интегральные представления для собственных функций
§4.Теоремы о линейной эквивалентности операторов
§5. Случай Н
Глава 3. Оператор преобразования типа Фаге для некоторых интегро-дифференциальных операторов
§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов
§2. Вспомогательные утверждения
§3. Доказательство основной теоремы
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Операторы преобразования играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных операторов. Впервые введенный Ж.Дельсартом [1] при исследовании операторов обобщенного сдвига, аппарат операторов преобразования оказался естественным методом исследования многих вопросов спектральной теории. А.Я.Повзнер [2] построил операторы преобразования для уравнений Штурма-Лиувилля и применил их для вывода формул разложения по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с убывающим потенциалом. В.А.Марченко привлек операторы преобразования для исследования обратных задач спектрального анализа [3] и асимптотического поведения спектральной функции сингулярного оператора Штурма-Лиувилля [4]. Б.М. Левитан [5] с помощью операторов преобразования доказал в общем виде теорему о равносходимости. Роль операторов преобразования в спектральной теории значительно возросла после того, как И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан [6] нашли с их помощью исчерпывающее решение обратной задачи о восстановлении уравнения Штурма-Лиувилля по его спектральной функции.
В указанных работах, посвященных спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля:
1у = -у"+д(х)у, (0.1)
под оператором преобразования понимался оператор вида Е + К, где К

интегральный оператор Вольтерра К/(х)-К(х,()/( 1)ск, переводящий решение

задачи Коши для «простейшего» оператора Штурма - Лиувилля с нулевым потенциалом в решение задачи Коши с данным (произвольным) потенциалом (х). Для дифференциальных операторов высших порядков
(У = /я)+2 РЛх)Ут (0.2)

задача построения оператора преобразования оказалась значительно сложнее. Л.А.Сахновичем [7] существование треугольного оператора преобразования было установлено при жестком дополнительном требовании аналитичности коэффициентов дифференциального оператора в некотором круге на комплексной

плоскости, строго включающем отрезок, на котором рассматривается оператор. Построенный В.И.Мацаевым [8] пример показывает, что для операторов с неаналитическими коэффициентами оператор преобразования вольтерровского типа, вообще говоря, не существует. Для таких операторов в работах М.К.Фаге [9], А.Ф.Леонтьева [10], А.П.Хромова [11], установлено существование оператора преобразования вида Е + К, где К - некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по контуру правильного п - угольника на комплексной плоскости. Дальнейшее развитие исследований задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков связано с работами Хачатряна [12], [13], предложившего метод, позволяющий доказывать существование оператора преобразования вольтерровского типа при минимальных требованиях на область аналитичности коэффициентов.
Естественным обобщением задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов является задача о линейной эквивалентности интегральных операторов Вольтерра:
м/(х) = м(х, ОАО* (о.з)

( заметим, что упомянутые выше результаты можно интерпретировать как теоремы о линейной эквивалентности вольтерровских операторов, ядра которых являются функциями Грина задачи Коши с нулевыми начальными данными для дифференциальных операторов вида (0.2)). Напомним, что линейные непрерывные операторы А и В в линейном топологическом пространстве Н называются линейно эквивалентными, если существует изоморфизм Т пространства Н, такой, что ТА = ВТ.
В работах Л.А.Сахновича [14], [15], И.И.Кальмушевского [16] были получены достаточные условия линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования У:

#{х) = /№, (0.4)

а также достаточные условия линейной эквивалентности операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов, степеням оператора интегрирования У", л е N. Для вольтерровских операторов с ядром общего вида О.В.Сединым был

§2. Существование и свойства собственных функций.
В данном параграфе рассматриваются операторы следующего вида, включающего в себя как операторы вида (0.13)-(0.15), так и операторы вида (0.19):
£ = /'“(£ + Я) + /-а+| (?(*)£+ 0, (2.1)

04*) = }б(*,')/(*>*, (2-2)

ц(у) - функция, аналитическая в Б
В качестве оператора А выступает диагональная часть оператора Г:
А = 1~“(Е + Н) + (д(0 )Е + 0,), (2.3)

0/(*) - 1 б, , б, (0 = 6(0,0 (2.4)

Настоящий параграф посвящен исследованию вопроса о существовании у операторов вида (2.1), (2.2) для натуральных к собственных функций вида (1.4). Прежде всего найдем собственные значения Лк, которым должны соответствовать собственные функции вида (1.4). Имеем:
0=1у(г, к) - АЖ к) = I +1, (г*-1У (, Л)) + (Ь~Ц )Ж, *)-А**Р (г,*)-А**''-
Поскольку в правой части все слагаемые, кроме первого и последнего - элементы А (£>), а первое и последнее принадлежат одномерному подпространству,

порожденному элементом ъ , должно выполняться:
V*-1 = А**-1 - /'“(г4'1 +&*' +q(0)Izk-] +Ю]гк~1), откуда:
2, = *“(1 + Я(*) + Г0) + *‘21(*)) = (*), (2.5)
где функция Д(р) аналогична той, что введена в параграфе 1:
Е(р) = р“ (1 + Я(р) + р-'д{ 0) + р-'й (Р>) (2-6)
Получим уравнение для функций <р (г, к). Для этого подставим в уравнение 1у = Л. у функцию у (у,к) в виде (1.4), в результате чего получим:
А**"1 +Га+'(гд2(2)Е + 02У~' + Шкср = Е(к)гк~х +Е{к)]к(р ,