Продолжение по Борелю-Уитни ультрадифференцируемых функций нормального типа

• Автор: Абанина, Дарья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 112 с.

Глава 1. Весовые функции
1.1 Весовые функции и их свойства
1.2 Медленно меняющиеся весовые функции
1.3 Почти полуадцитивные сверху весовые функции
1.4 М- и Аг-эквивалентность весовых функции
Глава 2. Продолжение ультрадифференцируемых функций нормального типа по Уитни
2.1 Пространства ультрадифференцируемых функций нормального типа
2.2 Топологические свойства пространств ультрадифференцируемых функций нормального тина
2.3 Совпадение классов ультрадифференцируемых функций нормального типа
2.4 Пространства ультраджетов нормального типа. Постановка задачи о продолжении но Уитни
2.5 Необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитни для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа
2.5.1 Построение специального семейства полиномов
2.5.2 Основной результат
2.6 Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджетов нормального типа и продолжение функций
по Уитни 72,
2.6.1 Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа и базисные системы экспонент в них
2.6.2 Основной результат
Глава 3. Аналоги и модификации теоремы Бореля
Раздел I. Критерий справедливости аналога теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа
3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата
3.2 Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций
3.3 Формулировка задачи в терминах целых функций
3.4 Доказательство основного результата 95 Раздел II. Построение аналитических решений многомерной проблемы Бореля
с помощью кратных рядов экспонент
3.5 Постановка задачи и основной результат
Литература

1. Пусть и — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая на [0, +оо) неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям:
(а) ЗА/ > 1, 3С > 0 | Ух, у > 0 ш{х 4- у) < М(w(x) + w(y)) + С (или, что то же самое, u>(2t) = 0(u>(t)) , t —> сю);
(Р) / Y+fdt < °°;
(7) 111 t = o(oj(t)) , t —> 00;
(A) <ры(х) := сДе2) выпукла на [0,oo).
Далее, пусть <Д,(у) := sup{a;y — 0} — функция, сопряженная no Юнгу к ipu(x). П1)остранства ультрадиффсренцируемых функций (УДФ) Бёрлинга и, соответственно, Румье нормального типа q (термин нормальный означает, что q 6 (0,00)) вводятся следующим образом:
^(R*) := {/ е C(RN)yi € N, Vs 6 (0,q) sup sup < °°>
(IGNq ||#||^
£L}(rN) := {/ G C°°(RN)yi e N 3s € (■q, 00) : sup sup ^ < 00} .
1 ' aeFJ" ||i||
Здесь a~ (ai otp) — мультииндекс, |a| = щ +... + an — его длина, ||ж|| := ^max^|xy| — рассматриваемая нами норма в RiV.
Пусть, далее, К — непустой компакт в RN. Джетом на компакте К называется последовательность / = (/а)а6ду непрерывных на компакте К функций. Обозначим символом J(K) пространство всех джетов на компакте К и введем для произвольного элемента / из J(K) так назы-

ваемые остаточные члены
(П“/ГЬТ= г(»)
|j3| т Є No ; а Є : |а| < m ; x, у Є К.
Положим теперь
\fLsK := sup sup ,| і, - + sup sup sup lv - J -■■ Srz
” о€^*Є^Є*Й(І«І/*) rn€knL^(N\y-x\)m+l~aes^^
x±y
Пространствами ультраджетов Бёрлипга и Румье нормального типа g будем называть соответственно пространства
£(и)(к) '■= {/ Є J(K) I Vs Є (О,?) ||/||здл' < оо} и
£{и}(К) := {/ Є J(K) I 3s Є (g, оо) : \f\^K < оо}
Проблема продолжения по Уитни УДФ нормального типа заключается в нахождении необходимых и достаточных условий па весовую функцию и), при которых оператор р% : / Є C30(RAr) И- (/ |А-)оЄМм сюръективно отображает £^(RN) на £^(К) (соответственно, 5^j(RAr) на £Ч{и}(К)). История этой проблемы восходит к 1895 году, когда Э. Боре-лем [34] был доказан следующий результат: для всякой последовательности {ж„}^0 комплексных чисел имеется такая функция / из C°°(R), что
/(n)(0) = zn, VneNo.
Таким образом, первоначально задача продолжения была решена для пространства C'0O(R) и одноточечного компакта К = {0}. Заметим, что на самом дело сформулированное утверждение справедливо и в многомерном случае. Затем в 1934 году Г. Уитни [51] обобщил этот результат на случай произвольного непустого компакта К в R'v. Именно, было показано, что оператор рк сюръективно отображает пространство C^R^)
ДДЕ*) = €}{№*) тогда и только тогда, когда а ~ из.
Заметим, что на самом деле здесь сформулированы два утверждения: одно для пространств Бёрлипга, а другое для пространств Румье. Чтобы доказать эту теорему, мы используем тот же метод, что у Г. Бьорка. Начнем с более простои достаточной части.

Лемма 2.3.2. Пусть ш,аЄ ИА, Є (0, оо). Если а -< со, то С
Доказательство. В силу леммы 1.4.3 для произвольных 0 < я < в' < оо найдется постоянная С — (7(5, э') > 0 такая, что
то есть
Из ЭТОГО неравенства, очевидно, следует, ЧТО £и,в’,т(Д^) с (ЕЛГ),
Мт Є N. Поэтому при всех т Є N
П ^ -,т(К^) С п
'6(0,7) «6(0,7)
У £“>° >(»*) С и
е'€{ц,со) «£((?,оо)
Таким образом, £ДЕЛТ) С □
Доказательство обратного результата гораздо более сложное. Для него нам понадобится ввести пространства пробных УДФ нормального типа.
Пусть К — непустой компакт в ЕЛ, из — весовая функция, я Є (0, оо). Определим два банаховых пространства:
ОиДК) := {/ Є Я(/0 : Ц/Щ, := [ 1/(01 < оо} и
■/Р.*