Аппроксимативные свойства весовых классов Соболева

• Автор: Васильева, Анастасия Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Колмогоровские поперечники весовых классов Соболева и
аппроксимативные числа их вложения
1.1 Связь с приближением первообразной веса кусочно-постоянными
функциями
1.2 Регулярность весовых функций
1.3 Оценка сверху колмогоровских поперечников и аппроксимативных
чисел
1.4 Оценка снизу колмогоровских поперечников и аппроксимативных
чисел
1.5 Асимптотика и точные значения колмогоровских поперечников
при р < д
1.6 Порядки колмогоровских поперечников для некоторых
сингулярных функций
2 Свойства классов функций с поточечными ограничениями
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Существование гладких функций с поточечными ограничениями
2.3 Порядки колмогоровских поперечников класса липшицевых функций с заданными значениями в концах отрезка
Литература

Список обозначений
Сп(Х) стр. 4; convW стр. 4; spanW стр. 4;
L(X, Y) стр. 4; ker Л стр. 4; гк А стр. 4;
А стр. 4; int А стр. 4; dist(x, М) стр. 4; dist(C, А) стр. 4;
Л) стр. 4;
L0(J) стр. 5;
L0(J, А) стр. 5;
Lp(J) стр. 5;
Lp,v{J) стр. 5;
Lq,P)v{J) стр. 5;
II IL« стр- 5;
AC(J) стр. 5;
WL(J) стр- 5'.
II IW(J) стр. 5;
Ir,g,v,a СТр. 6;
Ir,g,v,b СТр. 6,
dn(M, X) стр. 7;
А„(М, X) стр. 7;
Ап(А) стр. 7;
1р стр. 7;
Bq стр. 7;
fi{x, у) < f2{x, у) стр. 11; у
fi(x, у) £ /г(т, у) стр. 11;

fi(x, у) ~ f2(x, у) стр. 11;

fi(x, у) < f2(x, у) стр. 11;

fi(x, у) > Мх, у) стр. 11; fi(х, у) è /2(т, у) стр. 11; fi(x) < f2{x) стр. 12;
fi(x) > h(x) стр. 12;
fi(х) ж f2(x) стр. 12; LlpC[a, b) стр. 12;
Lp (a, b стр. 12; iß стр. 13;
Iß стр. 13;
Wlg[a, 6] стр. 13; x стр. 15;
Х стр. 15; х2 стр. 15; h[a) стр. 17;
I/ь /2І стр. 20;
I/ь /2L

Введение
Изучение аппроксимативных свойств различных классов функций является постоянно развивающейся областью современной математики, которой посвящено большое число монографий и статей. В этой области возникают новые перспективные задачи и объекты исследования.
Диссертация продолжает исследования в этом направлении. В ней изучаются аппроксимативные свойства множеств функций, заданных па отрезке или полуоси, с различного вида ограничениями на производные. При этом, основной целью является исследование поведения колмогоровских поперечников весовых классов Соболева в зависимости от веса. В случае равномерной метрики изучаются свойства класса, возникающего в некоторых задачах с фазовыми ограничениями.
Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть X — линейное пространство над полем Е, Сп(Х) — совокупность всех линейных подпространств X размерности не выше п € Z+. Для множества W С X обозначим через convW выпуклую оболочку W, через span ТУ линейную оболочку W. Под полунормой || (I : X —» М+ на линейном пространстве X будем понимать функционал Минковского некоторого его выпуклого центрально-симметричного подмножества.
Для линейных нормированных пространств X, Y над полем Е будем обозначать L(X, Y) множество линейных непрерывных операторов А : X —> У; при этом ker А — ядро, ткА — размерность образа оператора А.
Пусть (X, d) — метрическое пространство, А С X. Обозначим через А замыкание А, int А — внутренность А. Для непустых множеств А, С С X и х € X расстояние от х до множества А обозначим distx (х, А) = infyg,!й(ж, у), расстояние между С и А
distx (С, Ä) ~ inf distx (х, Ä) — inf d{х, у),
хеС хеС,уеА
уклонение множества С от множества А
Ех{С, А) = supdistx {х, А).

В первой главе изучается поведение колмогоровских поперечников dn весовых классов Соболева и поведение аппроксимативных чисел Ап операторов вложения этих классов в пространства Lp>v в зависимости от весов и

откуда следует, что д°'2 = д°-:i и д'Д = д-- Значит, в силу (1.14), функция не зависит от выбора 7 Е Г, так что она единственна. Кроме того,
Зг'Уъ!1] = const-
Если Д С [а, /3] — невырожденный отрезок и = const, то ~|д
0. Поэтому, в силу (1.14), = 0 и р|д = 0. По предположению
индукции, отсюда следует, что д|д = 0.
Пусть а а! (3' (3, д[а,а'ир'Д = 0 и У задается из условия (1.13) для а', [У. По предположению индукции, — дД и дД = дД . Поэтому у 7' /3' /з
ja°Â(t)dt= Jsiï(t)dt= y5;:fw
a a7 77 7;

fâ?-i(s)ds, « < < < 7',
= Jg/i(s)ds, Yt/3,
0, te [a, b][a, Р].
Так как p“i7il[o,Q'] = 0 и д1%'д = 0, то = д?'в'.
Докажем непрерывную зависимость д°У от а и /?. Для этого надо
доказать, что если a„ —» ск и /?„ —> {3 при п со, то
lls-rt7M]->0 (1.15)
при п —> оо. Пусть 7, 7„ определяются из условия (1.13) для а, /3 и а„, (Зп соответственно. Как было показано выше, множество возможных значений 7 является отрезком; обозначим его через [7_, 7+]. В силу доказанного,
9г'l[7-,7+] = const и поэтому 5|[7-,7+] = Пусть т„ € [7-, 7+]. Тогда
5r-i7" = 5г-17“ и 5r-f” = 5V-fn> откуда следует, что

J9г'-1 (*)dt = У 9r-fn(i) dt,

то есть в качестве 7„ можно взять 7_. Таким образом, множество индексов п можно разбить на две подпоследовательности: Л_ — {п : 7П 7_} и Л+ = {п : 7„ 7+}. Достаточно показать, что выполнено (1.15) при п Є Л_ и при п Є Л+. Рассмотрим случай Л_ (случай Л+ рассматривается аналогично). Докажем, что 7„ —> 7_ при п —> оо, п Є Л_. Пусть существует > 0 такое, что 7„ 7_ — 5 для бесконечного множества Л индексов п. По предположению индукции, для любого і Є [а, Ь] и п Є Л выполнено
< я;т~‘т, г"-м, та)